Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если

Пример.

1) если

Доказательство:

Пусть – фиксирована, т.к.

- бесконечно-малая последовательность (1)

Аналогично,

(2)

Пусть , следовательно, выполняется (1) и (2)

2) Если , следовательно

Следствие. ∑ любого числа бесконечно-малых последовательностей есть бесконечно-малая последовательность.

3) Произведение ограниченной последовательности на бесконечно-малую равняется бесконечно-малой. последовательности.

Пусть - ограниченная последовательность

4) Произведение бесконечно-малой последовательности на бесконечно-малую равняется бесконечно-малой последовательности.

Ещё одно определение сходящейся последовательности:

Последовательность называется сходящейся, если , что в -окрестности точки находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера (который, конечно, зависит от ), т.е.

Отсюда элемент бесконечно малой последовательности. Тогда любой элемент сходящейся последовательности, имеющей предел, может быть представлен в специальном виде