Основные теоремы о пределах

Теорема 1: ∑ сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен ∑ пределов последователей и

Доказательство.

Пусть ,

(специальное представление)

где и - элементы бесконечно-малых последовательностей.

- сходится к

Теорема 2. Разность сходящихся последовательностей равна сходящейся последовательности, предел которой равен разности пределов.

Теорема 3 Произведение сходящихся последовательностей и равно сходящейся последовательности, предел которой равен произведению пределов и .

сходится к

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела т.к.

Теорема 4. Частное двух сходящихся последовательностей и (предел второй не равен 0) определено, начиная с некоторого номера и равно сходящейся последовательности, предел которой равен частному пределов и .

Доказательство.

Пусть ,

Начиная с некоторого , элементы , можно рассматривать частное

Теорема 5. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Если сходящаяся последовательность имеет предел, следовательно, она ограниченна.

Доказательство.

Пусть - сходящаяся последовательность, - её предел. Зафиксируем и найдём такой , что или, что тоже самое,Обозначим через наибольшее из чисел: , т.е. ограниченная.