Теорема Ролля. Теорема. Если непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и =

Теорема. Если непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и = (т.е. принимает на концах этого отрезка равные значения), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка , для которой =0.

Доказательство.

Если =, то возможны два случая:

1. функция = const внутри = 0, " Î .

2. функция изменяется, т.к. непрерывна на она принимает на свое наибольшее и наименьшее значения, причем хотя бы одно из них будет внутри интервала .

По условию функция дифференцируема во всех точках и в точке, где принимается наибольшее (наименьшее) значение () по теореме Ферма =0.

Если = =0 между всякими двумя нулями функции лежит точка , что =0 (именно в таком виде теорема дана Роллем).

Теорема Роля теряет силу, если не требовать дифференцируемость во всех точках интервала.

Пример 1. , при , =1, но ни где не обращается в 0, в точке не существует.

.