2014-02-09
424
Теорема. Если 
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и 
=
(т.е. принимает на концах этого отрезка равные значения), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка 
, для которой 
=0.
Доказательство.
Если =, то возможны два случая:
1. функция 
= const внутри 
= 0, " 
Î .
2. функция изменяется, т.к. непрерывна на она принимает на свое наибольшее и наименьшее значения, причем хотя бы одно из них будет внутри интервала .
По условию функция дифференцируема во всех точках и в точке, где принимается наибольшее (наименьшее) значение (
) по теореме Ферма 
=0.
 |
Если = =0 между всякими двумя нулями функции лежит точка , что =0 (именно в таком виде теорема дана Роллем).
Теорема Роля теряет силу, если не требовать дифференцируемость во всех точках интервала.
Пример 1. 
, при 
, =1, но 
ни где не обращается в 0, в точке 
не существует.
.
