Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Теорема. Если непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка , что

.

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию , где . Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Роля: непрерывна на , дифференцируема на и на концах интервала :

.

По теореме Ролля хорда, стягивающая конечные точки дуги этой функции ( ) будет || оси и $ точка , что.

Но =0

Т. - это формула конечных приращений.

Приращение функции на равно производной в некоторой точке этого интервала умноженное на приращение аргумента.

Геометрический смысл. Если во всех точках дуги АВ существует касательная, то найдется такая точка _, в которой касательная параллельна хорде.