Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Если непрерывна на отрезке , то по свойствам непрерывности функций она достигает на этом отрезке наибольшего значения.
Варианты: (Если имеется конечное число критических точек).
Наибольшее значение функция достигает:
1. в одной из критических точек;
2. на концах отрезка.
То же и о наименьшем значении.
Определение. Дуга кривой называется выпуклой, если все ее точки лежат по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги.
Выпуклость вверх – выпуклая, вниз – вогнутая.
В современной математике – наоборот. (Теория оптимизации).
Теорема 1. Если во всех точках , то кривая на этом интервале выпуклая.
Доказательство.
Пусть Проведем в этой точке касательную к кривой. Мы должны доказать, что все точки кривой на интервале лежат ниже касательной.
- уравнение кривой.
- уравнение касательной
или .
Найдем разность ординат кривой и касательной
.
Применим теорему Лагранжа:
, где , (снова по теореме Лагранжа).
|
|
, .
Пусть , , . Кроме того, по условию , т.е. все точки лежат ниже касательной Þ кривая выпуклая.
Теорема 2. Если >0 во всех точках , то кривая на этом интервале вогнутая.
(Доказательство аналогично).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
В точке перегиба касательная должна пересекать кривую, т.к. с одной стороны кривая лежит под касательной, с другой – над ней.
Теорема 3. Если или не существует и при переходе через меняет знак, то – точка перегиба.
Доказательство.
1. Пусть при , при . при выпуклая, при вогнутая. – перегиб.
2. при и при " вогнутая, при выпуклая. точка перегиба.
Пример. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости.
точки - критические точки II рода.
+ | + | - | + | ||||
È | не т.п. | È | т.п. | Ç | т.п. | È |