Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если непрерывна на отрезке , то по свойствам непрерывности функций она достигает на этом отрезке наибольшего значения.

Варианты: (Если имеется конечное число критических точек).

Наибольшее значение функция достигает:

1. в одной из критических точек;

2. на концах отрезка.

То же и о наименьшем значении.

Определение. Дуга кривой называется выпуклой, если все ее точки лежат по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги.

Выпуклость вверх – выпуклая, вниз – вогнутая.

В современной математике – наоборот. (Теория оптимизации).

Теорема 1. Если во всех точках , то кривая на этом интервале выпуклая.

Доказательство.

Пусть Проведем в этой точке касательную к кривой. Мы должны доказать, что все точки кривой на интервале лежат ниже касательной.

- уравнение кривой.

- уравнение касательной

или .

Найдем разность ординат кривой и касательной

Применим теорему Лагранжа:

, где , (снова по теореме Лагранжа).

, .

Пусть , , . Кроме того, по условию , т.е. все точки лежат ниже касательной Þ кривая выпуклая.

Теорема 2. Если >0 во всех точках , то кривая на этом интервале вогнутая.

(Доказательство аналогично).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

В точке перегиба касательная должна пересекать кривую, т.к. с одной стороны кривая лежит под касательной, с другой – над ней.

Теорема 3. Если или не существует и при переходе через меняет знак, то – точка перегиба.

Доказательство.

1. Пусть при , при . при выпуклая, при вогнутая. – перегиб.

2. при и при " вогнутая, при выпуклая. точка перегиба.

Пример. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости.

точки - критические точки II рода.