Асимптоты

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние d от некоторой точки М Î кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки М к ¥.

Рассмотрим случаи вертикальной и наклонной асимптот.

1. Вертикальная асимптота: уравнение

или или Þ – асимптота.

Т. е. для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие , при которых .

2. Наклонные асимптоты: уравнение

Для того, чтобы найти уравнение наклонной асимптоты нужно найти числа и .

(*),

т.е. | делим на и переходим к

при , , Þ (**)

из (*) Þ (***)

То есть, если , то и находятся по формулам (**) и (***). Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая асимптоты не имеет.

Пример 1.

1). Вертикальные асимптоты

2). Наклонные асимптоты

- наклонная асимптота.

Пример 2.

, при ,

при ,

Первая асимптота: .

Вторая асимптота: .

Чтобы построить:

, , , Þ h

, Þ 

Þ È.

Обратно: если существуют пределы (**) и (***) Þ выполняется равенство (*) Þ– асимптота.

Асимптотическое изменение функций может быть различным при и Þ рассматривать оба случая отдельно.

После того как найдена асимптота, исследованием знака выражения для больших значений устанавливается взаимное расположение функций и асимптоты:

- функция над асимптотой ,

- функция под асимптотой ,

- функция не ограниченное число раз пересекает асимптоту (- меняет знак бесконечное число раз).

Общая схема исследования функций.

I. 1). Область определения;

2). Точки разрыва и интервал непрерывности;

3). Поведение функций в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты;

4). Точки пересечения графика с осями координат;

5). Симметрия графика (четность или нечетность функций);

6). Периодичность функции.

II. 1). Точки экстремума;

2). Интервалы монотонности;

3). Экстремальные значения функции.

III. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

IV. Поведение функции на бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.