Исследование функций с помощью 1-го достаточного признака экстремума

1. Найти точки, в которых (стационарные) и точки, в которых не существует. Это те точки, в которых функция может иметь экстремум (подозрительные на экстремум или критические).

2. Разбиваем исследуемый интервал на частичные: а,х₁) – это интервалы монолитности функции.

3. Находим знак производной в каждом из частичных интервалов. (Для этого достаточно узнать знак производной в любой точке интервала).

По изменению знака производной определяем точки экстремума.

Пример.

при , .

	-
	Max	¯	Min
+		-		+

Если в точке , но знака не меняет Þ функция не имеет ни max ни min, а соответственно при - возрастает, при - убывает.

Теорема 3. (2-ой достаточный признак экстремума).

Пусть при . Пусть, кроме того, $ и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда имеет max в точке , если и имеет min в точке , если .

Доказательство.

1). Пусть , . То, что означает, что убывающая в окрестности . Но по условию , т.е. при переходе через производная меняет знак с <+> на <-> Þ в точке имеет max.