Формулировка закона Кулона в дифференциальной форме

Формула Гаусса-Остроградского и

Запишем скалярное произведение двух векторов – оператора Гамильтона и гладкой векторной функции . Эта операция порождает производное скалярное поле, называемое дивергенция поля :

(1.56)

В отличие от потока векторного поля (1.53) дивергенция не интегральная, а дифференциальная характеристика этого поля. Дивергенция характеризует мощность источников поля.

Выразим дивергенцию поля в декартовой системе координат:

(1.57)

Формула Гаусса-Остроградского связывает мощность источников с потоком порождаемого ими векторного поля:

(1.58)

Иначе говоря, формула Гаусса-Остроградскогосвязывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую объем. Согласно теореме Гаусса (см. (1.54)), имеем:

(1.59)

Из (1.58) и (1.59) следует

Последнее равенство справедливо тождественно независимо от выбора объема , поэтому

(1.60)

Выполнение (1.60), как и теоремы Гаусса (1.54), обусловлено справедливостью закона Кулона. Значит, уравнение (1.60) выражает формулировку закона Кулона в дифференциальной форме.

Линейность уравнения (1.60) отражает справедливость принципа суперпозиции для напряженности электрического поля. В теории электромагнетизма принято, что (1.60) справедливо не только для неподвижных зарядов, но и для произвольно движущихся зарядов.