Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка

(1)

и непрерывны в интервале (a,b).

Введем новую неизвестную функцию z по формуле y = y₁ + z, где у₁ – частное решение уравнения (1), т.е.

Þ (2)

Общее решение уравнения (2) даётся формулой:

, где z₁, z₂, …, z_n – ФСР уравнения (2),

а C₁, C₂, …, C_n – произвольные постоянные.

Таким образом,

(3)

Эта формула представляет общее решение уравнения (1) в области (a,b), |y|<¥, |y^/|<¥, …, |y^(n-1)|<¥.

Замечание 1:

Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму n слагаемых, т.е. , и если для i=1,2..n, то y = y₁ + y₂ +…+ y_n есть частное решение уравнения

.

Замечание 2:

Если известно m частных решений неоднородного уравнения (1)

y₁, y₂,…, y_m, то соответствующее однородное уравнение имеет m-1 частных решений z_k = y_k – y₁, k=2,3…m. Если эти решения линейно независимы в (a,b), то порядок соответствующего однородного уравнения можно понизить на m-1 единиц.