Свойства умножения матриц

1°. Произведение матриц может быть нулевой матрицей, хотя оба сомножителя не являются нулевыми матрицами. Например,

.

2°. Произведение матриц не обладает переместительным свойством, т.е. в общем случае АВ ≠ ВА.

Действительно, если матрица А имеет размер , а матрица В – размер , , , то произведение ВА вообще не имеет смысла; если матрица А имеет размер , а матрица В – размер , то имеют смысл оба произведения АВ и ВА, но полученные матрицы будут разных размеров (квадратные матрицы порядков и , соответственно); умножение квадратных матриц А и В одного порядка приведет к квадратной матрице того же порядка, однако и в этом случае матрицы могут оказаться не равными, например,

, , , .

Однако в отдельных случаях равенство АВ = ВА может выполняться. Тогда говорят, что матрицы А и В перестановочны, или что они коммутируют. Единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей: ЕА = АЕ = А (проверьте самостоятельно!). Следовательно, матрица Е при умножении матриц играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

3°. Произведение матриц обладает сочетательным свойством. Если матрицы АВ и (АВ)С имеют смысл, то существуют матрицы ВС и А(ВС), причем (АВ)С = А(ВС).

Для доказательства этого свойства вычислим элементы матриц (АВ)С и А(ВС), стоящие в i-й строке и k-м столбце:

,

.

Так как соответственные элементы матриц (АВ)С и А(ВС) равны, то равны и сами матрицы.

4°. Произведение матриц обладает распределительным свойством относительно сложения:

А(В+С) = АВ+АС, (А+В)С = АС+ВС.

5°. Справедливы равенства .