Линейные операции над матрицами

Будем записывать матрицы в сокращенном виде.
Пусть , , , ; .

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Сумма матриц
С = А+В имеет вид , где , ; .

2. Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А на действительное число k называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число k.

Пусть даны матрица и число k. Тогда по определению произведением матрицы А на число k является матрица ,
где .

Пример. Пусть даны матрицы , и число k = 3. Найти матрицу С = kА + В.

○ Произведением матрицы А на число k будет матрица

.

Теперь найдем сумму матриц kА и В:

. ●

Свойства операций сложения матриц
и умножения матрицы на число

Приведем свойства, непосредственно вытекающие из определений этих операций. Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковые размеры, а k и l – некоторые действительные числа. Тогда:

1°. А+В = В+А.

2°. (А+В)+С = А+(В+С).

3°. k(А+В) = kA+kB.

4°. (k+l)А = kА+lА.

5°. (kl)А = k(lА).

6°. А+0 = А, где 0 – нулевая матрица.