2014-02-12
1116
Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих типов:
– перемена местами любых двух строк (столбцов) матрицы; (I)
– умножение элементов любой строки (столбца) на произвольное число 
; (II)
– прибавление к элементам произвольной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на произвольное число 
; (III)
– вычеркивание нулевых строк (столбцов) матрицы. (IV)
Матрицы, полученные одна из другой посредством элементарных преобразований, называются эквивалентными.
Теорема 3.2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ранга матрицы.
□ Для преобразования I типа утверждение теоремы очевидно;
для преобразований II, III и IV типов утверждение теоремы следует из свойств 1°–3° ранга матрицы. ■
Теорема 3.3. Любую ненулевую матрицу (3.1) с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому
виду (3.4).
□ Пусть дана ненулевая матрица А=
и 
. Выполнения последнего условия всегда можно добиться переменой местами строк или столбцов исходной матрицы (элементарные преобразования I-го типа).
|
|
|
Будем приводить матрицу А к ступенчатому виду (3.4). Для этого проведем следующие элементарные преобразования элементов строк матрицы, начиная со второй:
к элементам каждой строки, начиная со второй, прибавим соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на 
, где 
– номер преобразуемой строки, 
.
При этом элементы матрицы А пересчитываются по формулам:
,
; 
.
В результате получим матрицу, эквивалентную исходной, так как произведенные преобразования – элементарные.
~ 
.
Выполним уже описанные операции с матрицей, взятой в рамку, и продолжим действовать аналогичным образом, вычеркивая нулевые строки, если таковые получатся в результате преобразований. После конечного числа шагов получим матрицу, эквивалентную исходной матрице:
~ А.
Меняя местами столбцы полученной матрицы, можно привести матрицу к ступенчатому виду (3.4). ■
Так как все произведенные преобразования элементарные, то полученная матрица эквивалентна исходной. Ее ранг равен числу r ненулевых строк, а значит и ранг матрицы А также равен r.
Пример. Найти ранг матрицы 
.
○ Приведем матрицу к ступенчатому виду:
~
~
~
~
.
Последняя матрица имеет ступенчатый вид (3.4), ее ранг равен 3. Значит, и ранг исходной матрицы равен 3. ●
