Свойства определителей. 1°. Если столбцы и строки определителя поменять местами (транспонировать), то величина определителя не изменится

1°. Если столбцы и строки определителя поменять местами (транспонировать), то величина определителя не изменится.

Действительно, в результате такой операции число слагаемых и их структура не изменятся, но в слагаемых поменяются местами сомножители.

Таким образом, столбцы и строки определителя равноправны.

2°. Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Это свойство следует непосредственно из определения, т.к. в этом случае каждое слагаемое будет содержать нулевой множитель.

3°. При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя остается прежней, а знак меняется на противоположный.

Следствие. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Действительно, поменяем местами равные строки и на основании свойства 3° получим: , откуда .

4°. Общий множитель любой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

□ Пусть в определителе n-го порядка элементы i -й строки

имеют общий множитель k, тогда

.

По определению каждое слагаемое, входящее в определитель , содержит множитель из i -й строки. Вынесем общий множитель k за скобки. Выражение в скобках есть определитель , следовательно,

■

5°. Определитель равен нулю, если элементы двух каких-либо его строк (столбцов) пропорциональны.

Докажите это свойство самостоятельно.

6°. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен суммой двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки (столбцы), за исключением указанной, совпадают с соответствующими строками (столбцами) исходного определителя, а на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй – вторые слагаемые данной строки (столбца) исходного определителя, т.е.

.

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 4°.

Пример. Вычислить определитель .

○ Представим элементы первой строки в виде суммы и воспользуемся свойством 6°:

.

Первый из слагаемых определителей равен нулю по следствию из свойства 3°, второй – по свойству 5°. ●

7°. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на один и тот же множитель l.

□ Умножим каждый элемент m -ой строки определителя на
число l и прибавим к соответствующим элементам i -й строки. Представим полученный определитель как сумму двух определителей по свойству 6°. Второй из определителей суммы будет равен нулю (по свойству 5°), так как содержит пропорциональные строки, а первый определитель суммы есть исходный определитель :

Операции, определенные свойством 7°, называются элементарными преобразованиями определителя. Таким образом, мы доказали, что элементарные преобразования не изменяют величины определителя. ■

Замечание. Рассмотренные свойства определителя справедливы как для строк, так и для столбцов определителя, поскольку строки и столбцы определителя равноправны.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где С = А×В; А и В – матрицы n-го порядка.

Замечание. Из свойства 8 следует, что даже если АВ ¹ ВА,
то .