Определители второго порядка

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Тема 1.1 Матрицы и определители

Студент должен:

уметь:

- выполнять операции над матрицами;
вычислять определители;

- разлагать определитель по элементам любой строки и
любого столбца;

- находить обратную матрицу;

Определители второго порядка.

Определение 1. Матрицей размера 2x2 называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из 2 строк и 2 столбцов. Обозначается

Числа, составляющие эту матрицу, называются ее эле­ментами и обозначаются буквой с двумя индексами. Пер­вый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, в которых стоит данное число.

Определение 2. Определителем (или детерминан­том) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число .

Определитель обозначают символом

По определению, = .

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя.

Определение 3. Если

- квадратная матрица размера 3x3

(3 строки, 3 столбца), то соответствующим ей определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом

Числа а₁₁, а₁₂,..., а₃₃ называются элементами опреде­лителя. Формула дает разложение определителя третье­го порядка по элементам первой строки и сводит вычис­ление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Определение 4. Назовем минором, соответствующим данному элементу определителя третьего порядка, опре­делитель второго порядка, полученный из данного опре­делителя вычеркиванием строки и столбца, на пересече­нии которых стоит данный элемент. Миноры будем обозначать заглавной буквой М с двумя индексами. Так, например, минор М₁₂, соответствующий элементу а₁₂, есть

определитель

Определение 5. Назовем алгебраическим дополнением элемента определителя его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если эта сумма нечетна.

Алгебраическое дополнение элемента a_ik обозначается через A_ik. Здесь i означает номер строки, а к - номер стол­бца, на пересечении которых находится данный элемент.

Например,