Установить взаимное расположение прямых:
; .
Система относительно параметров и имеет вид:
или
Вычислим ранг расширенной матрицы:
.
Ранг расширенной матрицы равен двум, а основной единице. Система несовместна, прямые параллельны, т.к. направляющие векторы и коллинеарны.
Для определения расстояния между прямыми и запишем уравнение плоскости , проходящей через точку пересечения прямой с плоскостью и имеющей нормальный вектор .
Из уравнений прямой следует: при .
Тогда : . Определим точку пересечения этой плоскости с прямой , подставляя в это уравнение координаты из уравнений прямой .
.
Искомое расстояние .
II. Плоскости могут быть параллельными и пересекающимися.
Если плоскости заданы общими уравнениями:
,
,
то, объединив их в систему, можно решить вопрос о её совместности.
Если система совместна (ранги расширенной и основной матриц равны), то плоскости пересекаются (нормальные векторы не коллинеарны) или совпадают (нормальные векторы коллинеарны). Если система не имеет решений (ранги расширенной и основной матриц не равны), то плоскости параллельны.
|
|
III. Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость или быть параллельной ей. Пусть плоскость задана общим уравнением, а прямая уравнениями в параметрической форме:
.
Объединим эти уравнения в систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными ().
Если система несовместна, то прямая и плоскость не имеют общих точек, т.е. они параллельны. Если решение единственно, то оно даёт координаты точки пересечения. Если система неопределённая (бесконечно много решений), то прямая лежит в плоскости. Учитывая вид этой системы, можно упростить вычисления, если подставить из параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости. При решении полученного уравнения возможны три случая. Решение единственно – прямая пересекает плоскость. Решений бесконечно много – прямая лежит в плоскости. Решений нет – прямая параллельна плоскости.