Номинальные ставки

1 2 3 4 5 6 7

РАЗДЕЛ 3.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

Исходя из предыдущего примера, выделим общую формулу для подсчёта коэффициента начисления при переменной ставке.

Коэффициент наращения по переменным ставкам простых процентов имеет вид:

В сложных процентах при и деньги будут расти по следующей последовательности: 1000 – 1500 – 2250 – 3375 – 5062. Т.е. каждая следующая сумма в полтора раза больше предыдущей.

Схема сложных процентов предполагает, что коэффициент наращения или дисконтирования на всём промежутке начисления или учёта процентов остаётся неизменным.

Ряд наращенных сумм по сложным процентам представляет собой геометрическую прогрессию. Графиком наращения или дисконтирования является экспонента, или, по-другому, показательная функция.

Выведем формулы.

– наша начальная сумма

В общем виде наращенная сумма по сложным процентам равна:

Теперь выведем формулу дисконтирования.

За шагов добираемся до

В общем виде современная стоимость денег по сложным процентам равна:

Решим примеры 1 и 2 по сложным процентам.

Пример 3.

Начальная сумма т. р.

Процентная ставка

Найти: наращенную сумму через года:.

Решение:

т. р.

Пример 4.

Вексель номиналом 700 т. р. и сроком погашения 31 декабря 2012 года учитывается сегодня (2 февраля 2012 года) по годовой учётной ставке. Какую сумму получит держатель векселя?

т. р.

года.

т. р.

При n > 1:

При 0 < n < 1:

При n = 1:

Где – коэффициент наращения.

Эти неравенства очень просто доказываются, достаточно подставить в формулы, например, и. Таким образом, если срок наращения денег меньше года, то в сложных процентах деньги наращиваются медленнее, чем в простых. Если же срок равен единице, т.е. году, то разницы нет. Если же срок выше одного года, то в сложных процентах деньги наращиваются быстрее, чем в простых. Аналогично дела обстоят с дисконтированием.

Д/з: доказать неравенства в общем виде.

04.02.2012 Лекция

Чтобы доказать неравенства в общем виде, нужно использовать формулу Тейлора:

где – это число сочетаний по.

Тогда:

Получаем:

При n > 1:

При n > 2:

Запишем вывод с точки зрения инвестора:

если договор краткосрочный, т. е. сроком меньше года, то для инвестора более выгодны простые проценты. Если договор долгосрочный, т. е. сроком больше года, то для инвестора более выгодны сложные проценты.

Для заёмщика – всё наоборот.

Обозначим через процентную ставку, действующую на -ой части года ().

Годовой номинальной процентной ставкой называется величина

Т.е. проценты начисляются не раз в год, а m раз в год.

Пример: если, то тогда. Т. е. годовая ставка равна 20%, однако проценты начисляются 4 раза в год (ежеквартально) по 5%.

Рассчитаем коэффициент наращения по простым процентам:

Номинальные ставки по простым процентам рассматривать не имеет смысла – хоть проценты начисляются и несколько раз в год, эффект от них будет одним и тем же. А вот по сложным процентам эффект есть.

Коэффициенты наращения по сложным процентам:

Исходя из этого, выведем общую формулу. Коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке за n лет равен:

Пусть – учётная ставка, действующая на -ой части года. Запишем определение годовой номинальной учётной ставки по аналогии.

Годовой номинальной учётной ставкой называется величина

Пусть. Тогда соответствующая годовая учётная ставка равна.

Пусть учёт происходит на периоде один год: коэффициент дисконтирования за один квартал равен. Если же учёт производится за два квартала, то никакого смысла учёта по простым процентам нет. А вот по сложным процентам было бы уже так:

Запишем общую формулу.

Коэффициент дисконтирования по годовой номинальной учётной ставке за n лет равен:

Выведем формулы будущей и современной суммы денег:

(5)

(6)

(7)

(8)

Учёт денег по формуле (6) называется банковским учётом, а по формуле (7) – математическим учётом. На практике формулы (7) и (8) используются редко.

Ставка называется эффективной, если она эквивалентна по силе наращения или учёта соответствующей номинальной ставке.

Уравнение эквивалентности между эффективными и номинальными процентными ставками имеет вид:

(9)

(10)

(11)

Формула (10) показывает соотношение между годовой эффективной и годовой номинальной процентной ставкой.

Выражение эквивалентности между годовой эффективной и годовой номинальной учётной ставкой имеет вид:

(12)

(13)

(14)

Пример:

Пример 2:

Пример 3:

Пусть дана учётная ставка. Нужно найти.

Составим уравнение эквивалентности с помощью коэффициентов дисконтирования:

Всё.

Составим новое уравнение эквивалентности и выведем новые формулы:

(15)

Это формула выражения годовой номинальной ставки через эквивалентную ей годовую учётную ставку.

(16)

Это формула выражения годовой учётной ставки через эквивалентную ей годовую номинальную ставку.

Пример 4:

Пусть дана. Найти.

Ответ:.

Пример 5:

… … …

Ставки монотонно убывают.

Приходим к выводу, что эквивалентные номинальные и учётные ставки расположены в следующем порядке:

Т. е.:

– последовательность номинальной процентной ставки монотонно убывает

– последовательность учётной процентной ставки монотонно возрастает.

Вопрос: имеют ли эти последовательности общий предел? Возьмём предел от формулы (16):

Из этого предельного равенства следует, что последовательности номинальных процентных и учётных ставок имеют общий предел. Этот предел обозначается буквой и называется он силой процента или силой роста.

Запись означает, что число отрезков периода бесконечно увеличивается, т.е. начисление денег происходит ежесекундно, каждое мгновение.

Пример:

сумма – 1 миллион

наращение – 2,5 миллиона

наращение – 2,44 миллиона

наращение – 2,61 миллиона

наращение – 2,69 миллиона

наращение – 2,71 миллиона.

Как видим, сумма растёт совсем небыстро. Это число стремится к числу т. е. на определённом этапе происходит стабилизация наращения суммы. Т. е. если мы будем производить начисление каждое мгновение, то приращение суммы не превысит число е. При ежемгновенном начислении процентов при эффективной ставке 100% первоначальный капитал за год увеличивается в раз.