Простая рента предполагала одно начисление или один учёт на одном периоде ренты и одну выплату на этом периоде. Пусть теперь на одном периоде производится...
Вспомним коэффициенты:
– годовой коэффициент дисконтирования по годовой эффективной учётной ставке.
– годовой коэффициент наращения по годовой эффективной процентной ставке.
– годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной процентной ставке с m учётами в году.
– годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке с m начислениями в году.
Теперь представим, что у мы имеем выплат в год. Тогда:
– годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной процентной ставке с m учётами в году на части года.
– годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке с начислениями на части года.
На каждом частичном периоде выплата равна. Однако величины в этой выплате обычно учитывают в коэффициентах ренты. Тогда:
Очевидно, что коэффициент дисконтирования сложной ренты постнумерандо меньше коэффициента сложной ренты пренумерандо. Точнее, он равен:
или:
По аналогии коэффициент наращения сложной ренты пренумерандо равен:
Коэффициент наращения сложной ренты постнумерандо равен:
или:
Итак, основные расчётные формулы для коэффициентов дисконтирования и наращения сложной ренты пренумерандо и постнумерандо имеют вид:
С помощью этих формул легко записать основные расчётные формулы для современных и наращенных стоимостей сложной ренты-пренумерандо и постнумерандо:
Рассмотрим несколько типичных случаев сложной ренты:
1.,, т. е. и выплаты производятся один раз в год, и начисление – один раз в год. Таким образом, сложная рента превращается в простую, и все коэффициенты сложной ренты сводятся к соответствующим коэффициентам для простой ренты.
Аналогично и с остальными коэффициентами.
2.,, т. е. выплата производится один раз в год, а начислений или учётов – сколько угодно. Тогда подставив вместо p единицу, получим упрощённые формулы коэффициентов сложной ставки. Формулы станут менее громоздкими:
3.,, т. е. начисление или учёт производится раз в году, а выплаты – постоянно, например, ежемесячно. Тогда подставим в формулы коэффициентов единицу вместо и снова сократим формулы. Буква “ ” исчезнет даже из обозначений: и пр.
4., выплат производится столько же, сколько начислений или учётов. Этот случай похож на простую ренту, только вместо одного года надо брать -ю часть года. Но при этом ставка берётся уже не годовая. Вместо неё берутся для учёта и – для наращения.
5.,, т. е. начисление идёт непрерывно, а выплата – дискретна. Переходим к пределам по и используем второй замечательный предел. Получим:
18.02.2012 Практика |
Задача 1.
Для создания страхового фонда ежегодно выделяется 4000 долларов. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке 6% годовых. Определить размер страхового фонда через 5 лет.
Общая модель – простая рента. Рента бывает пренумерандо и постнумерандо. Т. к. в задаче не уточняется, следует рассмотреть оба случая. Также ничего не сказано о ставке – процентная она или учётная. Следовательно, здесь также имеется 2 случая. Итого мы имеем 4 случая.
Решение:
1) Рента пренумерандо, процентная ставка.
Используем Формулу
2) Рента постнумерандо, процентная ставка.
Используем Формулу
r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">
3) Рента пренумерандо, учётная ставка.
Переведём процентную ставку в учётную:
Используем Формулу
4) Рента постнумерандо, учётная ставка.
Переведём процентную ставку в учётную:
Используем Формулу
Задача 2.
Нефтяная компания ежемесячно выплачивает пенсию $500. Предполагая, что годовая номинальная процентная ставка равна 12%, подсчитать современную величину пенсионных выплат.
Решение:
Т. к. пенсия выплачивается в начале месяца, это пренумерандо.
– годовая номинальная процентная ставка
Нам нужно найти годовую учётную ставку. Переведём годовую номинальную процентную ставку в эффективную годовую процентную ставку, а её уже переведём в d.
Теперь находим, не забывая, что – это ежемесячная пенсия, а мы ищем годовую сумму. Т. е. умножаем на. Т. е.
Задача 3:
Молодожёны имеют годовой доход в $16000. Ипотечный банк выдаёт сумму, которая должна погашаться 1/3-ей месячного дохода. Банк использует сложные проценты по месячной процентной ставке 1,2%. Долг погашается в течение 25 лет. Какова величина взятого кредита?
Решение:
Выплаты кредита производятся обычно в конце месяца, поэтому мы имеем ренту постнумерандо.
Найти: –?
– величина взятого кредита
А номинальная сумма, которую молодожёны выплатят в итоге, получается:. Т. е. больше чем в 3 раза превышает сумму кредита. Довольно жёсткие условия, но молодожёны согласились.
Задача 4:
Накопительный фонд формируется по следующим схемам:
1. Годовая номинальная процентная ставка с ежеквартальным начислением процентов равна 12%, т. е.
2.
Сумма – 1 миллион.
Вопрос: какая схема выгоднее?
Решение: нужно сравнить коэффициенты наращения. Наиболее выгодной будет та схема, у которой он будет больше.
Вывод: вторая схема выгоднее.
Задача 5:
Семья планирует купить автомобиль за $20000. Банк выдаёт кредит на 5 лет при следующих условиях: начисление процентов ежеквартально, а выплата денег производится ежемесячно. Годовая номинальная процентная ставка составляет 16%, т. е.. Найти величину ежемесячных выплат.
Решение:
Выплаты производятся в конце месяца, значит – рента постнумерандо
– ежеквартальное начисление процентов
– количество выплат в году (ежемесячно)
Вычислим:
доллар выплачиваем ежемесячно за этот кредит.
Подсчитаем номинальную сумму, которую мы вернём за такой кредит:. Переплата большая.
25.02.2012 Лекция |