Финансовая рента

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей такой, что равные выплаты производятся через равные промежутки времени. Ренты бывают безусловные и условные. Рента называется безусловной, если известен общий срок ренты (выплата стипендии в течение срока обучения). Рента называется условной, если общий срок ренты заранее неизвестные или зависит от выполнения некоторого условия (например, страховые ли пенсионные выплаты). Условные ренты обычно рассматриваются в актуарной математике. Различают также ренты пренумерандо и постнумерандо. Рента называется пренумерандо, если периодические выплаты производятся в начале каждого периода, и постнумерандо – если в конце каждого периода. Рента называется вечной, если её общий срок неограниченно большой.

Введём обозначения:

– общий срок ренты

– количество периодов ренты

– длительность одного периода

– член ренты или периодическая выплата

Основными расчётными (денежными) характеристиками ренты являются:

– современная стоимость ренты пренумерандо

– наращенная стоимость ренты пренумерандо

– современная стоимость ренты постнумерандо

– наращенная стоимость ренты постнумерандо

Графическое изображение ренты пренумерандо и постнумерандо:

Будем считать сначала, что рента простая, т. е. начисление или учёт процентов, а также выплаты производятся один раз в году. Будем считать далее, что на рынке действуют следующе эквивалентные между собой ставки:

Вычислим величину. Используя формулу суммы геометрической прогрессии а также равенство, получаем:

Далее вычислим величину, зная, что:

Аналогично находим величины и относительно ренты постнумерандо. Окончательно получаем следующие расчётные формулы для простых рент пренумерандо и постнумерандо:

Любая сумма постнумерандо конечно меньше, чем пренумерандо. Чем дальше выплаты – тем дешевле стоят выплачиваемые деньги (дело не в инфляции, это просто свойство денег).

Вспомним кое-какие уравнения:

g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:num><m:den><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRPr="0034245D"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">

Финансовая рента часто используется в задачах погашения кредита.

Пример.

Кредит в размере 300 000 рублей выплачивается ежегодно по годовой учётной ставке 20% в течение 3-х лет. Найти величину ежегодных выплат.

Решение:

Будем считать, что обслуживание кредита осуществляется по схеме постнумерандо.

Обозначения:

Найти:

Первоначальный кредит делим на коэффициент дисконтирования. Это формула (3.3).

Это означает, что современная или наращенная стоимость ренты пренумерандо больше соответствующей стоимости ренты постнумерандо. Безразмерные величины в формула (3.1) – 3.4(- это коэффициенты ренты.

Коэффициент дисконтирования ренты пренумерандо:

Коэффициент наращения ренты пренумерандо:

Коэффициент дисконтирования ренты постнумерандо:

Коэффициент наращения ренты постнумерандо:

Таким образом получаем, что: