2014-02-12
2829
Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3 переменными.
Запишем систему в матричной форме. Обозначим:
где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы;
Х – матрица - столбец переменных
В – матрица столбец свободных членов.
Получаем, что данная система в матричной форме выглядит следующим образом:
Для получения решения системы умножим слева обе части матричного равенства на матрицу 
(на обратную матрицу)
Матрица называется обратной по отношения к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица
Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, то есть ее определитель не равен нулю.
После выполненного умножения получим 
Так как 
то решением системы методом обратной матрицы будет матрица – столбец 
Обратная матрица 
- определитель матрицы А;
Аij – алгебраические дополнения элементов матрицы А;
Т – транспонирование полученной матрицы.
|
|
|
Алгебраическим дополнением Аij элемента аi j… квадратной матрицы n – ого порядка называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, взятый со знаком (-1)i+j
Например 
Итак, решение системы в развёрнутом виде выглядит следующим образом:
Алгоритм решения:
- Выписать матрицы А,Х и В
- Найти определить матрицы А 
обратная матрица существует
- Найти алгебраические дополнения элементов матрицы А
- Вычислить обратную матрицу
- Найти решение системы:
Ответ: (4;2;1)
