Лекция №10 Понятие угла между прямыми

Угол между двумя прямыми на плоскости.

k₁, k₂ – коэффициенты прямых l₁ и l₂, φ- угол между этими прямыми

, второй угол вычисляется по формуле: π – φ

Угол между прямыми в пространстве.

Если прямые заданы следующим образом L₁: и L₂: , то угол между ними вычисляется по следующей формуле:

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

11 Лекция №11 Кривые второго порядка: окружность, эллипс.

I Окружность

Определение Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

х²+у²=r² – уравнение окружности, проходящей через начало координат О(0,0)

(х-а)²+(у-в)²=r² – уравнение окружности с центром в т О(а,в)

Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0 – общее уравнение окружности

II Эллипс.

Определение Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох (a>b)

а- длина большой полуоси, b – длина малой полуоси

а²- b²=с²

Определение Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с к большей оси.

Е<1

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то уравнение принимает следующий вид:

12 Лекция №12 Кривые второго порядка: парабола и гипербола.

I Гипербола

Определение Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Уравнение гиперболы, фокусы которого лежат на оси Ох:

а – длина действительной полуоси, b – длина мнимой полуоси.

b²=c²-a²

Определение Эксенцтриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к ее действительной оси.

Гипербола имеет 2 асимптоты(прямые к которым график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает)

Если действительная и мнимая ось гиперболы равны т.е. a=b, то гипербола называется равносторонней.

Уравнение равносторонней гиперболы: х²-у²=а²

Уравнение ее асимптот у=±х

Самостоятельно в тетради построить равностороннюю асимптоту.

Фокусы гиперболы могут лежать как на оси Ох, так и на оси Оу, тогда ее уравнение примет вид: или

Уравнение асимптот:

b²=c²-a²

Уравнение равносторонней гиперболы, с фокусами на оси Оу: у²-х²=а²

II Парабола

1) Парабола с вершиной в начале координат

Определение Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо: у²=2рх, р(параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево: у²= - 2рх,

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вверх: х²=2ру,

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вниз: х²= - 2ру,

Парабола может быть со смещенной вершиной.

Уравнение параболы с вершиной в т М(а,в), осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо: (у-в)²=2р(х-а)

Аналогично уравнениям параболы с вершиной в начале координат, самостоятельно составьте остальные уравнения со смешенной параболой и выполните один чертеж.