Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число

Метод математической индукции успешно применяется и при доказательстве различных неравенств, при этом используются свойства неравенств. В качестве примера рассмотрим доказа­тельство неравенства, называемое неравенством Бернулли, которое имеет следующий вид:

(4)

при всех натуральных значениях nи для всех х> - 1.

При n = 1 это неравенство справедливо, так как 1 + х = 1 + x.

Предположим, что оно справедливо при n = k>1, т. е. спра­ведливо

Докажем, что оно верно и для n = k+1: умножим обе части равенства на 1 + х:

Учитывая, что kx² ³ 0 и, следовательно, 1 + kx + x + kx² ³ 1 + kx + x = 1+ x(k + 1). Тогда имеем:

(1 + x)^k+1³ 1 + (k + 1)x.

Таким образом, мы показали, что неравенство (4) верно для n =1, и в предположении, что оно верно для n = k,доказали его справедливость для n = k+1Значит, по принципу математиче­ской индукции неравенство Бернулли справедливо для всех на­туральных значений n.

Пример 4. Используя неравенство Бернулли доказать справедливость неравенства

При n = 1:

Пусть при n = k неравенство верно, т.е.

Докажем справедливость при n = k+1, т.е.

Левую часть представим в виде Используя неравенство Бернулли, имеем

Где

Но

Значит неравенство верно при любом n.

Пример 4. Доказать, что n³ – n делится на 3 при любом n.

При n = 1: 1 – 1 = 0, 0 делится на 3.

Пусть при n = k: k³ – k делится на 3.

Докажем делимость при n = k + 1:

(k + 1)³ – (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 – k – 1 = k³ + 3(k² + k) – k = k³ – k + 3(k² + k).

Т.к. k³ – k делится на 3 (по индуктивному предположению), 3(k² + k) делится на 3, то и их сумма делится на 3.

Пример 5. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Т.е. необходимо доказать, что n³ +(n + 1)³ + (n + 2)³ делится на 9.

При n = 1: 1+ 8 + 27 = 36 – делится на 9.

Пусть при n = k: k³ +(k + 1)³ + (k + 2)³ делится на 9.

Докажем, что делимость на 9 имеет место при n = k + 1:

(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³ = (k+2)³ + k³ +3k² +3k +1 +k³ + 9k² +27k+27 = (k+2)²+k³+(k+1)³ +9(k² +3k + 3), где

(k+2)²+k³+(k+1)³ делится на 9 по индуктивному предположению,

9(k² +3k + 3) делится на 9.

Следовательно, их сумма делится на 9.