Введение. При исследовании процессов горного производства таких, как отбойка горной массы, ее перемещение по технологической цепи

При исследовании процессов горного производства таких, как отбойка горной массы, ее перемещение по технологической цепи, оценка качества руды, определение геометрических параметров горных выработок, а также при решении многих других задач, возникающих при проведении различных горных работ, как правило, не удается найти законы, связывающие непосредственно величины, характеризующие исследуемые явления. Однако при этом достаточно легко устанавливается взаимосвязь между этими величинами и их производными или дифференциалами. Соотношения такого рода и называются дифференциальными уравнениями (ДУ). Дифференциальные уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Если же искомые функции, описывающие изучаемое явление или процесс зависит более, чем от одной переменной, то в этом случае получаемые дифференциальные уравнения будут называться дифференциальными уравнениями в частных производных.

Составление дифференциальных уравнений является важным и вместе с тем трудным вопросом при описании любого явления или процесса, имеющих место при реализации технологических процессов горного производства. К сожалению, универсального метода составления дифференциальных уравнений, пригодного во всех случаях, не существует. В большинстве случаев методика решения задач прикладного характера с применением ОДУ сводится к следующему:

1) по условию задачи составляется подробный чертеж, поясняющий ее суть;

2) в результате анализа задачи устанавливается, какой параметр можно принять за аргумент (независимую переменную), какой за искомую функцию;

3) исследуется наличие конкретного смысла у производной искомой функции и, если производная не имеет конкретного смысла, то ищется соотношения между дифференциалами переменных;

4) фиксируется произвольное значение аргумента и соответствующее ему значение функции (придание аргументу приращения и определения соответствующего приращения функции);

5) на основе определенных допущений, дающих возможность заменить неравномерный процесс равномерным, составляется ДУ рассматриваемого процесса;

6) интегрируется полученное уравнение и определяется его общее решение;

7) на основании заданных начальных условий определяется частное решение задачи;

8) с использованием дополнительных условий задачи определяются по мере необходимости вспомогательных параметров (например, коэффициента пропорциональности и т.д.);

9) вывод общего закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин;

10) анализ полученного ответа и проверка исходного положения задачи.

Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера задачи могут не использоваться.

В настоящем пособии будет рассмотрена общая теория ДУ с абстрактными примерами и примерами решения конкретных задач характерных для горного дела.