Лекция 3. Уравнения первого порядка в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение вида

, (3.1)

которое будет называться уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция u=u (x,y), что ее полный дифференциал совпадает с левой часть уравнения (3.1), т.е.

. (3.2)

С другой стороны полный дифференциал функции u=u (x,y) равен

, (3.3)

поэтому из выражений (3.2) и (3.3) следует выполнение тождеств

и (3.4)

Необходимым и достаточным условием существования функции u=u(x,y) (при существовании непрерывных частных производных первого порядка от функций М(х,у) и N(x,y)), является выполнение тождества

, (3.5)

которое называется условием Эйлера.

Если же условие (3.5) выполняется, то функция u=u(x,y) определяется по формуле:

, (3.6)

или же в виде:

. (3.7)

В этой формуле можно брать произвольно, лишь бы точка оставалась в области где М(х,у) и N(x,y) и их частные производные были бы непрерывны.

Итак, если левая часть уравнения (3.1) совпадает с полным дифференциалом функции u=u(x,y), то справедливо выражение

или du = 0. (3.8)

Следовательно, функция u=u(x,y) является общим интегралом уравнения (3.1), т.е

u(x,y) = C, (3.9)

а с учетом (3.6) общий интеграл уравнения (3.1) можно вычислить по формуле

С, (3.10)

или с учетом (3.7), по формуле

. (3.11)

Общий интеграл уравнения (3.1) можно также найти, используя равенства (3.4). Для этого сначала потребуем, чтобы выполнялось равенство , отсюда найдем функцию u(x,y):

, (3.12)

где j (y) – произвольная дифференцируемая функция от у, а при выполнении интегрирования переменную у под знаком интеграла надо считать постоянной.

Теперь из множества функций u(x,y) выделим ту, которая удовлетворяет условию . Функция u(x,y,) определяемая из (3.12), будет удовлетворять этому условию, если будет выполняться равенство

,

или

,

то есть функция j(y) должна иметь вид:

. (3.13)

Подставив (3.13) в равенство (3.12), получим искомую функцию u(x,y), а, следовательно, и общий интеграл уравнения (3.1):

. (3.14)

Для получения формулы (3.14) мы потребовали, чтобы выполнялось равенство . Однако, можно потребовать, чтобы в первую очередь выполнялось равенство и, проводя аналогичные рассуждения, придем к уравнению

, (3.15)

которое так же, как и уравнение (3.14) определяет общий интеграл уравнения (3.1).

Пример 3.1. Найти общий интеграл уравнения:

.

▲ Установим, является ли исходное равнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим, выполняется ли условие Эйлера (3.5). Здесь

, а .

Вычислим производные и : и , следовательно, условие Эйлера выполнено, и исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x,y) по изложенной выше схеме, а именно, предположим, чтобы выполнялось равенство :

,

отсюда

.

Далее потребуем от u(x,y) обеспечения равенства :

,

или , или . Следовательно, .

Таким образом, искомая функция и соответственно общий интеграл исходного уравнения будут иметь вид:

.

Получим общий интеграл исходного уравнения, потребовав выполнения равенства :

,

а теперь потребуем, чтобы выполнялось : . Найдем . Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

.

Следовательно, независимо от того, какое из условий (3.4) будет выполняться в первую очередь, общий интеграл исходного уравнения будет одним и тем же.

Общий интеграл исходного уравнения можно записать в виде (3.11):

.

Выполним интегрирование:

,

или

,

т.к. можно брать произвольно, то, обозначив , окончательно получим

.▲

2. Если мы вновь обратимся к уравнению (3.1): , то можем отметить, что для него не всегда выполняется условие Эйлера (3.5):

Несмотря на этот факт, в некоторых случаях удается достаточно просто подобрать некую функцию m(x,y) так, чтобы после умножения на нее левая часть уравнения (3.1) обращается в полный дифференциал, т.е. уравнение

уже является уравнением в полных дифференциалах и выполняется тождество:

.

Такая функция m(x,y) называется интегрирующим множителем для данного уравнения и определяется из уравнения

,

которое можно переписать в виде:

. (3.16)

Если заранее известно, что , где w -заданная функция от х и у, то уравнение (3.16) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией m от независимой переменной w:

, (3.17)

где - (3.18)

т.е. дробь справа является функцией только от w.

Решая уравнение (3.17), находим интегрирующий множитель

.

В частности, уравнение (3.1) будет иметь интегрирующий множитель, зависящий только от х (w = х) или только от у (w = у), если выполнены соответствующие условия:

, (3.19)

или

. (3.20)

Пример 3.2. Найти общий интеграл уравнения:

.

▲ Определим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Проверим, выполняется ли условие Эйлера. Для этого вычислим частные производные от по у, и от по х:

,

следовательно, условие Эйлера не выполнено и исходное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Проверим, существует ли для этого уравнения интегрирующий множитель, зависящий только от х? Для этого проверим условие (3.19):

.

Следовательно, ответ на поставленный вопрос положителен, и можно определить интегрирующий множитель:

.

Таким образом, умножив исходное уравнение на этот множитель, мы приведем его к уравнению в полных дифференциалах:

. (П3.1)

Проверив еще раз условие Эйлера, установим:

.

Результат проверки свидетельствует о том, что полученное уравнение (П3.1) является уравнением в полных дифференциалах. Найдем общий интеграл уравнения (П3.1).

,

.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 3.3. Найти общий интеграл уравнения:

.

▲ Это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, т.к.

Проверим, имеет ли это уравнение интегрирующий множитель зависящий только от у: m = m(у).

Действительно, проверим условие (3.20):

Следовательно, .

После умножения исходного уравнения на , получим уравнение

,

которое будет являться уравнением в полных дифференциалах, т.к.

.

Следовательно, интегрируя последнее уравнение, будем иметь:

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения будет иметь вид:

.▲

Пример 3.4. Найти общий интеграл уравнения:

.

▲ Проверка условия Эйлера для этого уравнения показала, что оно не выполняется:

.

Достаточно просто убедиться о том, что это уравнение не имеет интегрирующих множителей, зависящих только от х и только от у:

и

В этом случае предположим, что w в (3.19) равно: . Тогда и уравнение (3.19) с учетом (3.20) принимает вид:

или

.

Очевидно, что выражение не является функцией от , поэтому будем искать функцию m в виде . Тогда, аналогично проведенному выше, имеем

,

откуда окончательно находим

Решая последнее уравнение, находим . Умножив исходное уравнение на , приведем исходное уравнение к уравнению в полных дифференциалах. Его общий интеграл имеет вид:

Отметим, что решение у = -х содержится в общем интеграле при С = ∞.▲

Пример 3.5. Найти общий интеграл уравнения:

.

▲ Это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Найдем интегрирующий множитель, с помощью которого можно привести исходное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Пусть w = xy. Тогда согласно (3.19) будем иметь

.

Отсюда находим . Исходное уравнение приводится к уравнению в полных дифференциалах:

Найдем общий интеграл уравнения

▲

Пример 3.6. Проинтегрировать уравнение:

,

если известно, что для того, чтобы привести исходное уравнение к уравнению в полных дифференциалах необходимо использовать интегрирующий множитель вида: .

▲ Полагаем в условии (3.20) :

Умножая исходное уравнение на этот интегрирующий множитель , мы приведем исходное уравнение к уравнению в полных дифференциалах:

.

Решая это уравнение, найдем общий интеграл исходного уравнения:

.

При умножении исходного уравнения мы предполагали, что у ¹ х ², т.к., если у = х ², то m обращается в бесконечность. Поэтому у = х ² также будет являться решением. ▲