double arrow

ОДУ, не содержащие искомой функции и независимой переменной


Рассмотрим уравнение

. (1.15)

Общее решение этого уравнения, если функция f(x) определена и непрерывна в некотором интервале (a,b), может быть представлено в виде

, (1.16)

и вся область изменения х и у (а<х<b, ½у½<+¥) заполнена непересекающимися интегральными кривыми (1.16) уравнения (1.15), причем каждая из них представляет собой график частного решения уравнения (1.15).

Из уравнения (1.16) следует, что все интегральные кривые, входящие в общее решение уравнения (1.15), получаются из какой-либо одной путем ее сдвига вдоль оси Оу.

Если поставлена задача Коши, а именно найти решение уравнения (1.15) удовлетворяющее начальным условиям , то такое решение будет иметь вид

. (1.17)

Пример 1.4. Найти общее решение уравнения

,

и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию у = 1 при х = 0.

▲ Очевидно, что правая часть исходного уравнения непрерывна при всех х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

Это уравнение есть уравнение семейства парабол, которые получаются при сдвиге одной из них параллельно оси Оу. Для того, чтобы решить задачу Коши необходимо в полученное решение подставить начальное условие и определить значение произвольной постоянной С: 1=0+С, откуда С = 1. Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид . Таким образом, через точку (0,1) проходит только одна интегральная кривая, определяемая уравнением .▲




Рассмотрим теперь уравнение, не содержащее независимой переменной

. (1.18)

Перевернутым для этого уравнения будет уравнение

. (1.19)

Общее решение этого уравнения будет иметь вид

. (1.20)

Пример 1.5. Найти решение задачи Коши для уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(0) =0.

▲ Правая часть исходного уравнения непрерывна при всех значениях у и не обращается в нуль, поэтому потери решений быть не может.

Интегрируя исходное уравнение, получим общий интеграл

,

а общее решение будет иметь вид

. (П5.1)

Следовательно, для того, чтобы определить решение, удовлетворяющее начальному условию у(0)=0, необходимо определить значение произвольной постоянной С. Подставляя в (П5.1) х=0 и у=0 определим, что С=0. Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид:

.▲







Сейчас читают про: