Однородное дифференциальное уравнение Эйлера

Уравнения вида

, (9)

где все — постоянные, называются уравнениями Эйлера. Уравнение Эйлера заменой независимой переменной (или , если ; в дальнейшем будем считать ) преобразуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.

Действительно, как мы знаем, линейность и однородность уравнения при преобразовании независимой переменной сохраняются, а коэффициенты становятся постоянными, потому что

, (10)

где все — постоянные, и при подстановке в уравнение (9) множители сокращаются с множителями .

Справедливость равенства (10) легко может быть доказана методом индукции. Следовательно, линейно входящие в уравнение Эйлера

(9.1)

с постоянными коэффициентами произведения линейно (с постоянными коэффициентами) выражаются через производные функции по новой независимой переменной . Отсюда следует, что преобразованное уравнение будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами

. (11)

Вместо того, чтобы преобразовывать уравнение Эйлера в линейное уравнение с постоянными коэффициентами, частные решения которого имеют вид , можно сразу искать решения исходного уравнения в виде , так как . Получающееся при этом после сокращения на уравнение

(12)

для определения должно совпадать с характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (11). Следовательно, корням уравнения (12) кратности соответствуют решения преобразованного уравнения или исходного уравнения, а комплексным сопряженным корням уравнения (12) кратности соответствуют решения преобразованного уравнения или исходного уравнения Эйлера.

Пример 7. . Ищем решение в виде ; , откуда . Следовательно, общее решение при имеет вид .

Пример 8. . Ищем решение в виде ; , или , . Следовательно, общее решение при будет .

Пример 9. . Ищем решение в виде ; , откуда . Следовательно, общее решение при имеет вид .

Уравнения вида также называются уравнениями Эйлера и сводятся к уравнению (9) заменой независимой переменной . Следовательно, частные решения этого уравнения можно искать в виде или преобразовать исходное уравнение к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой переменных (или , если ).