double arrow

Методы решения задачи Коши


Рассмотрим задачу распространения нестационарного температурного поля в неорганичном трехмерном объекте под влиянием внешних температурных источников - , начальная температура которого задана - . Таким образом, сформулирована задача Коши для уравнения теплопроводности

, (17.1)

(17.2)

где – неизвестная функция; - вектор с координатами x,y,z; функции – заданы.

Разложим функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t=0 (ряд Маклорена)

(17.3)

Если найти коэффициенты , то по формуле (17.3) получим решение. Заметим, что определяется из начального условия (17.2), т.е. .

Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (17.1)

(17.4)

Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.

Выражения для частной производной и оператора Лапласа в уравнении (17.1), следуют из (141)

(17.5)

Подставим (142) и (143) в уравнение (17.4). В результате получим равенство

Это равенство равносильно соотношениям

(17.6)

которые определяют коэффициенты и так далее через , заданную в начальном условии (17.2).

Таким образом, решение задачи Коши (17.1)–(17.2) выражается формулой:

(17.7)

где задана в (17.2), а остальные находятся по (17.6)




(17.8)

Этот метод можно использовать и при изучении распространения тепла и диффузионных процессов для двух- и одномерных объектов.

Пример 17.1. Найти решение уравнения

▲ Здесь . Так как и , то по (17.8) Отсюда находим

То есть, все остальные

Подставляем полученные в решение (17.7)

или

Пример 17.2. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (17.8) Отсюда находим

То есть, все остальные

Подставляем полученные в решение (17.7)

или

Пример 17.3. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (17.8)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (17.7)

или







Сейчас читают про: