2014-02-12
773
Рассмотрим задачу распространения нестационарного температурного поля в неорганичном трехмерном объекте под влиянием внешних температурных источников - 
, начальная температура которого задана - 
. Таким образом, сформулирована задача Коши для уравнения теплопроводности
, (17.1)
(17.2)
где 
– неизвестная функция; 
- вектор с координатами x, y, z; функции 
– заданы.
Разложим функцию при любом фиксированном 
в ряд Тейлора по времени относительно точки t =0 (ряд Маклорена)
(17.3)
Если найти коэффициенты 
, то по формуле (17.3) получим решение. Заметим, что 
определяется из начального условия (17.2), т.е. 
.
Разложим в ряд Маклорена функцию 
в правой части уравнения (17.1)
(17.4)
Поскольку функция 
задана, то все 
могут быть найдены.
Выражения для частной производной 
и оператора Лапласа 
в уравнении (17.1), следуют из (141)
(17.5)
Подставим (142) и (143) в уравнение (17.4). В результате получим равенство
Это равенство равносильно соотношениям
(17.6)
которые определяют коэффициенты 
и так далее через 
, заданную в начальном условии (17.2).
Таким образом, решение задачи Коши (17.1)–(17.2) выражается формулой:
(17.7)
где задана в (17.2), а остальные находятся по (17.6)
(17.8)
Этот метод можно использовать и при изучении распространения тепла и диффузионных процессов для двух- и одномерных объектов.
Пример 17.1. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
. Так как 
и 
, то по (17.8) 
Отсюда находим
То есть, все остальные 
Подставляем полученные 
в решение (17.7)
или
▲
Пример 17.2. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
Так как и 
, то по (17.8) Отсюда находим
То есть, все остальные
Подставляем полученные в решение (17.7)
или
▲
Пример 17.3. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
Так как 
и 
, то по (17.8)
Найдем 
по этой формуле
И так далее, все остальные
Подставляем полученные в решение (17.7)
или
▲
