double arrow

Лекция 17. Уравнения теплопроводности (диффузии) и методы их решений

Задания для самостоятельной работы

Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения вынужденных колебаний струны

Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения свободных колебаний струны

Лекция 16. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Задания для самостоятельной работы

Решить задачу Коши

15.1. . 15.2. .

15.3. .

15.4. .

15.5. .

15.6. .

15.7. .

15.8. .

15.9. .

15.10. .

15.11. .

15.12. .

15.13. .

15.14. .


Определим закон свободных колебаний однородной струны размером l (0< x < l, t >0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) заданы смещение равное φ (x) и его скорость равная ψ (x). При этом концы струны жестко закреплены. Математически эту задачу можно записать следующим образом

, (16.1)

(16.2)

. (16.3)

Будем искать нетривиальные частные решения уравнения (16.1), удовлетворяющие условиям (16.2) и (16.3), в виде произведения двух функций, зависящих только от одного аргумента X=X(x) и T=T(t), а именно

, (16.4)

Вычислив производные от (16.4) и, подставив их в уравнение (16.1), получим

(16.5)

или

. (16.6)

Равенство (16.6) выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.

. (16.7)

Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка

(16.8)

и

. (16.9)

Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (16.4), удовлетворяющие граничным условиям (16.3), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям

. (16.10)

Таким образом, мы пришли к задаче: найти такие значения параметра l, которые, назовем собственными числами или собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения (16.9), которые соответствуют этим собственным значениям, назовем собственными функциями, удовлетворяющие граничным условиям (16.10). Задачу отыскания собственных значений и собственных функций называют задачей Штурма-Лиувилля.

Рассмотрим три случая задачи (16.9), (16.10)

1) l< 0.

В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим

2) l =0.

В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим

.

3) l >0.

В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим

.

В уравнении постоянная С 2 не может быть равной нулю, поскольку в этом случае, мы получим тривиальное решение задачи (16.9), (16.10) - Х (х) ≡ 0. Поэтому для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы выполнялось равенство , а оно выполняется только тогда, когда (n- любое целое число). Следовательно, нетривиальное решение задачи (16.9), (16.10) возможно лишь при собственных значениях ln равных

. (16.11)

Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида

, (16.12)

которые будут являться нетривиальными решениями задачи (16.9), (16.10).

Собственные значения (16.12) подставим в уравнение (16.8)

. (16.13)

Общее решение этого уравнения имеет вид

. (16.14)

Подставляя функции (16.12) и (16.14) в (16.4), найдем

, (16.15)

где an и bn – произвольные постоянные.

Эта функция удовлетворяет уравнению (16.1) и граничным условиям (16.3) при любых коэффициентах ak и bk. В силу линейности и однородности уравнения (16.1) всякая конечная сумма решений (16.15) также будет решением уравнения (16.1), поэтому можно записать

. (16.16)

Для определения значений постоянных an и bn необходимо воспользоваться начальными условиям (16.2). Удовлетворяя в решении (16.16) первому из условий (16.2), получим

. (16.17)

Это равенство представляет собой разложение функции φ (x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная an является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0, l), который можно определить по формуле

. (16.18)

Для определения коэффициента bn, вычислим производную по t от функции (16.16)

,

и удовлетворим в решении (16.16) второму из условий (16.2), в результате получим

. (16.19)

Это равенство представляет собой разложение функции ψ (x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная bn является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0, l), который можно определить по формуле

. (16.20) Таким образом, ряд (16.16) полностью определяет решение исходной краевой задачи (16.1)-(16.3).

Пример 16.1. Определить закон свободных колебаний однородной струны единичного размера (0< x <1, t >0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) начальное смещение равно нулю, а его скорость равна x= (1 ). При этом концы струны жестко закреплены. Математически эту задачу можно записать следующим образом

, (П16.1.1)

, (П16.1.2)

. (П16.1.3)

Будем этой задачи, будем искать в виде (16.4)

, (П16.1.4)

Вычислив производные от (П16.1.4) и, подставив их в уравнение (П16.1.1), проведя вышеописанные преобразования, получим два уравнения для нахождения функций X=X(x) и T=T(t)

(П16.1.5)

и

. (П16.1.6)

Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (П16.1.4), удовлетворяющие граничным условиям (П16.1.3), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям

. (П16.1.7)

Общее решение уравнения (П16.1.6) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (П16.1.7), получим

.

Нетривиальное решение задачи (П16.1.6), (16.1.7) возможно лишь при собственных значениях λn равных

. (П16.1.8)

Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида

, (П16.1.9)

которые будут являться нетривиальными решениями задачи (П16.1.6), (П16.1.7).

Собственные значения (П16.1.8) подставим в уравнение (П16.1.5)

.

Общее решение этого уравнения имеет вид

. (П16.1.10)

Подставляя функции (П16.1.9) и (П16.1.10) в (П16.1.4), найдем

. (П16.1.11)

Для определения значений постоянных an и bn воспользуемся начальными условиям (П16.1.2). Удовлетворяя в решении (П16.1.11) первому из условий (П16.1.2), получим

.

Следовательно, постоянная an =0

Для определения коэффициента bn удовлетворим в решении (П16.1.11) второму из условий (П16.1.2), в результате получим

.

Это равенство представляет собой разложение функции x (1 ) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная bn является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0, l), который можно определить по формуле

.(П16.1.12)

Вычислим оба интеграла

подставим найденные интегралы в (16.20)

Подставив найденное значение коэффициента bn в решение (П16.1.11), получим окончательный вид решения исходной задачи

.

Пример 16.2. Струна, закрепленная на концах x =0 и x=l, имеет в начальный момент форму параболы . Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.

▲ Запишем волновое уравнение

(П16.2.1)

начальные условия

(П16.2.2)

и граничные условия

. (П16.2.3)

в соответствии с условиями задачи.

Решение исходной задачи дается формулой (16.16)

, (П16.2.4)

в которой коэффициенты ряда – an и bn, определяются по формулам

, (П16.2.5) .

Вычислим интеграл (П16.3.5)

Подставляя найденные значения коэффициентов an и bn, в формулу (П16.2.4), получим

.

При четном n =2 k выражение , следовательно, и решение , а при нечетном n =2 k +1 выражение , поэтому окончательное решение исходной задачи имеет вид

.▲

Определим закон вынужденных колебаний однородной струны размером l (0< x < l, t >0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) заданы начальное смещение равное φ (x) и его скорость равная ψ (x). Один конец струны (х = 0) колеблется по закону μ (t), а второй конец струны (х = l) колеблется по закону ν (t). При этом на струну действует внешняя сила равная f (t). Математически эту задачу можно записать следующим образом

, (16.21)

(16.22)

. (16.23)

Решение этой задачи будем искать в виде

(16.25)

где v (t,x) – новая неизвестная функция; ϖ (t,x) – функция, определяемая граничными условиями по следующему правилу

. (16.26)

Таким образом, наша задача сводится к нахождению функции v (t,x), для этого необходимо вычислить вторые производные от функции (16.25)

(16.27)

и подставив их в исходное уравнение (16.21), получим

или

обозначив

,

получим окончательно

.

Полученное уравнение является уравнением гиперболического типа относительно неизвестной функции v (t,x). Для этого добавим начальные и граничные условия в соответствии с условиями (16.22), (16.23). Запишем первое из начальных условий

или

Запишем второе из начальных условий

или

Теперь запишем граничные условия для функции v (t,x).

Таким образом, мы перешли от задачи в которой концы струны колеблются каждый по своему закону к задаче с жестко закрепленными концами

; (16.28)

; (16.29)

(16.30)

Решение этой задачи будем искать в виде

. (16.31)

Для нахождения неизвестной функции Vn (t) продифференцируем (16.31) дважды по t и по x

, (16.32)

, (16.33)

а также разложим функцию F (t,x) в ряд Фурье по синусам

, (16.34)

где . (16.35)

Подставив (16.32), (16.33) и (16.34) в уравнение (16.28), получим

.

В левой и правой частях полученного уравнения имеются одинаковые функции , поэтому можно приравнять коэффициенты при этих функциях, в результате получим обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно искомой функции Vn (t)

. (16.36)

Общее решение этого уравнения состоит из общего решения соответствующего ему однородного уравнения

(16.37)

и частного решения уравнения (16.36)

. (16.38)

Решение уравнения (16.37) может быть найдено по методу Эйлера. Характеристическое уравнение уравнения (16.37) имеет вид

,

следовательно, его корни будут исключительно мнимыми

,

Поэтому общее решение уравнения (16.37) можно записать в виде

. (16.39)

Для нахождения частного решения уравнения (16.36) можно воспользоваться либо методом неопределенных коэффициентов, либо методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной). Воспользуемся методом Лагранжа. Частное решение уравнения (16.36) будем искать в виде

. (16.40)

Для нахождения функций An (t) и Bn (t) в соответствии с алгоритмом метода составим систему

(16.41)

Решая эту систему, найдем значения коэффициентов An (t) и Bn (t). Подставляя найденные коэффициенты в решение (16.40), получим частное решение (16.36). Подставляя (16.38) решение (16.39) и (16.41), получим общее решение уравнения (16.36). Таким образом, подставляя в решение (16.31) найденную функцию Vn (t), найдем искомое решение. Однако в полученном решении еще не определены значения произвольных постоянных An (t) и Bn (t). Их конкретные значения найдем, используя начальные условия (16.29) (функции и предварительно можно разложить в ряд Фурье по синусам на интервале [0, l ]). В результате определим вид неизвестной функции v (t,x), подставляя которую в решение (16.25), получим окончательный вид решения исходной задачи.

Рассмотрим еще одну задачу, когда колебания струны с жестко закрепленными концами осуществляются только за счет воздействия внешней силы, действующей по закону

,

поэтому волновое уравнение будет иметь вид

. (16.42)

Запишем к нему начальные условия

, (16.43)

и граничные условия

. (16.44)

Решение такой задачи будем искать в виде

. (16.45)

Для нахождения функций U 2 n +1(t), продифференцируем дважды по t и x решение (16.45)

,

,

и подставим их в исходное уравнение

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях и после преобразования, получим уравнение

.

При различных значениях n,

при n = 0

,

при n = 1

,

…………………………

и т.д. получим n уравнений для определения функций . Решение этих уравнений удовлетворим начальным условиям (16.43). Затем подставив полученные функции в решение (16.45), получим окончательное решение исходной задачи.

Пример 16.3. Решить краевую задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа

, (П16.3.1)

при начальных условиях

(П16.3.2)

и граничных условиях

. (П16.3.3)

▲ Решение этой задачи будем искать в виде (16.25)

Запишем, чему равна функция ϖ (t,x) в соответствии с граничными условиями (П16.3.3)

,

Следовательно, функция принимает вид

. (П16.3.4)

Вычислим от этой функции вторые производные по t и x

и подставив в исходное уравнение, получим

.

Добавим к этому уравнению начальные

,

,

и граничные условия

,

.

Таким образом, получили следующую задачу

; (П16.3.5)

, ; (П16.3.6)

, .

Решение этой задачи будем искать в виде (16.31)

. (П16.3.7)

причем

. (П16.3.8)

Вычислим от функции (П16.3.7) вторые производные по t и x и, подставив их в уравнение (П16.3.5), получим

. (П16.3.9)

Для нахождения функции Vn(t) разложим единицу в ряд Фурье по системе функций на интервале (0,1):

.

Тогда

,

так как

,

то, уравнение (П16.3.9) принимает вид

, (П16.3.10)

которое является обыкновенным неоднородным линейным уравнением второго порядка. Его общее решение равно сумме общего решения, соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (П16.3.10). Общее решение однородного уравнения

имеет вид

.

Частное решение уравнения (П16.3.10) можно найти, например, методом неопределенных коэффициентов. Сравним вид правой части уравнения (П16.3.10) с выражением

(П16.3.11)

и определим значения параметров

При этих значениях параметров выражение (П16.3.11) имеет вид правой части уравнения (П16.3.10). Следовательно, можно записать частное решение этого уравнения в виде

.

Так как , и эти многочлены имеют вид . При наших значениях параметров комплексное число равно нулю и не совпадет ни с одним из корней характеристического уравнения , поэтому значение показателя s в формуле равно нулю. Таким образом, частное решение через неопределенные коэффициенты имеет вид

.

Для определения коэффициентов С 1 и С 2, подставим эту функцию в уравнение (П16.3.10)

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях этого уравнения, найдем значения неопределенных коэффициентов С 1 и С 2

.

Следовательно, частное решение уравнения (П16.3.5) имеет вид

.

Таким образом, общее решение уравнения (П16.3.10) имеет вид

. (П16.3.12)

Используя условие (П16.3.8), найдем значения коэффициентов Аn и Вn:

Подставляя полученные коэффициенты в формулу (П16.3.12), получим

. (П16.3.13)

Затем, подставляя (П16.3.13) в решение (П16.3.17), получим

и, используя равенство (П16.3.4) окончательно получим решение исходной задачи:

.▲

Пример 16.4. Решить краевую задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа

, (П16.4.1)

при начальных условиях

(П16.4.2)

и граничных условиях

. (П16.4.3)

▲ Понизим степень правой части исходного уравнения

.

Решение этой задачи будем искать в виде (16.45)

. (П16.4.4)

Для нахождения функций U 1(t) и U 3(t), продифференцируем дважды по t и x решение (П16.3.4)

,

,

и подставим их в исходное уравнение

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях и после преобразования, получим два уравнения

, (П16.4.5)

и

. (П16.4.6)

Оба этих уравнения являются обыкновенными линейными неоднородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Поэтому их общие решения и представляет собой

(П16.4.7)

. (П16.4.8)

Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (П16.3.5) имеет вид

.

Поскольку правая часть уравнения (П16.4.5) является постоянной величиной, то частное решение уравнения (П16.4.5) будет также представлять собой некую постоянную величину

. (П16.4.9)

Для того, чтобы найти ее конкретное значение необходимо решение (П16.4.9) подставить в уравнение (П16.4.5)

.

Таким образом, общее решение уравнения (П16.4.5) будет иметь вид

.

Для определения постоянных С 1 и С 2 используем начальные условия (П16.4.2). Удовлетворив первому условию, найдем С 1

.

Удовлетворив второму условию, найдем С 2

.

Подставляя найденные С 1 и С 2 запишем решение уравнения (П16.4.5)

.

Аналогичным образом решим уравнение (П16.4.6)

.

Подставляя найденные функции U 1(t) и U 3(t) в решение (П16.4.4), получим решение исходной задачи

.

Решить начально-краевые задачи

16.1. .

16.2. .

16.3. .

16.4.

16.5. .

16.6. .

16.7. .

16.8. .

16.9..


Лекция 16 (продолжение). ЗАДАЧА О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ЭЛЕМЕНТА ВООРУЖЕНИЯ ДОЛОТА РЕЖУЩЕГО ДЕЙСТВИЯ

Методами аналитической механики исследуем динамику одношарошечного долота. Выведем волновое уравнение для зуба долота.

Для этого рассмотрим колебания консоли (зуба), представляющей правильную усеченную пирамиду, при дискретном приложении нагрузки к ее вершине. Нагрузка действует вдоль оси симметрии консоли. Основа­ние консоли защемлено.

В уравнении используем следующие обозначения:

S(х) — площадь сечения консоли плоскостью, перпендикулярной к ее оси;

2а(х) — сторона квадрата площади сечения консоли;

2b — сторона квадрата площадки затупления консоли;

- угол при вершине;

h — высота;

Е — модуль Юнга;

ρ — плотность;

и(х,t) —отклонение сечения консоли с ординатой х в момент време­ни t.

Рассмотрим упругую деформацию участка консоли (х, х +d x) в момент времени t.

Смещение в точке х будет и, а в точке х + d х составит .

Относительное удлинение консоли в точке с ординатой х равняется , и натяжение, согласно закону Гука, будет Т = ЕS. Натяжение зуба в сечении с ординатой х+ d х будет ЕS. Равнодействующая сил натяжения, действующих на участке , будет равна

ЕS(x)-ЕS(x) =

Ввиду незначительных геометрических размеров и малой массы пренебрегаем массовыми силами, действующими на консоль.

Согласно второму закону Ньютона,

Переходя к пределу при , получаем уравнение продольных колебаний консоли

Делим обе части равенства на ρS и обозначив

Е/ ρ = а2,

где b - сторона площадки притупления зуба; h – высота зуба; φ – половина угла заострения, получим уравнение

(16п.1)

Для этой задачи характерны начальные условия вида

(16п.2)

и граничные условия

(16п.3)

где ( - время возмущения; Q (τ) — закон деформирования вершины зуба при контакте с забоем (функция, зависящая от механических свойств породы и конструктивных особенностей долота); η(t-τ) - "этта"-функция, имеющая следующий вид:

. (16п.4)

Задача решается методом Дюамеля. Первоначально находится ре­шение при Q (τ) = 1. Решение будем искать в виде суммы функций

. (16п.5)

где функция V (х) описывает стационарный колебательный процесс, афункция Р(х,t) - отклонение от него.

Для V(х) задача ставится следующим образом:

(16п.6)

Для Р(х,t)

(16п.7)

Сначала решим стационарную задачу (16п.6). Для нахождения общего решения уравнения (16п.6) понизим его порядок, введя новую функцию Z = Vx, тогда уравнение (16п.6) принимает вид

или

. (16п.8)

Для нахождения С 1 и С 2 воспользуемся граничными условиями

Подставив найденные С 1 и С 2 получим решение задачи (16п.6)

.

Уравнение (16п.7) будем решать методом Фурье, т.е. искать решение в виде

(16п.9)

После разделения переменных получим краевую задачу Штурма — Лиувилля

(16п.10)

и уравнение

. (16п.11)

Рассмотрим уравнение (16п.10) и его решение будем искать в виде

, (16п.12)

и вычислив первую и второю производные

и ,

После подстановки в уравнение (16п.10) получим уравнение

или

. (16п.13)

В полученном уравнении член с первой производной исчезнет только в том случае если коэффициент при ней будет равен нулю, т.е.

.

Пусть С 1 = 1, тогда

, (16п.14)

Подставив (16п.14) в (16п.13), получим

(16п.15)

Вычислим от этой функции производные первого и второго порядка

и ,

а затем подставим в (16п.10)

или

или

(16п.16)

это дифференциальное уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами, поэтому его решение будет иметь вид

, (16п.17)

Подставив это решение в (16п.15), получим

. (16п.18)

Постоянные С 1 и С 2 определим из граничных условий

.

, (16п.19)

Таким образом, решение (16п.18) можно записать следующим образом при С 1 = 1

(16п.20)

Теперь решим уравнение (16п.11)

,

которое является линейным однородным с постоянными коэффициентами, поэтому его решение будет иметь вид

, (16п.21)

Следовательно, решение (16п.12) будет равно

, (16п.22)

Коэффициенты Сп и Dn определяем из начальных условий

Это выражение представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам на интервале от 0 до h, следовательно, коэффициент С 1представляет собой коэффициент ряда Фурье, определяемый по формуле

,

Вычисляя этот интеграл, получим

Следовательно,

(16п.23)

Удовлетворим второму начальному условию

(16п.24)

Вычислим от функции (22) производную по t

и удовлетворим условию (16п.24)

,

следовательно, все Dn = 0, и решение задачи (16п.7) имеет вид

.

Таким образом, подставляя в решение (16п.5) значение (16п.23) получим

.(16п.25)

Решением исходной задачи будет функция

или

. (16п.26)

При этом было использовано уравнение

, (16п.27)

где δ — функция Дирака, а

. (16п.28)

Подставляя в выражение (16п.26) значение R (х,t) получаем оконча­тельное решение:

(16п.29)

(n = 1,2,3,...).

Формула (16п.29) позволяет получать численные значения деформации любой точки зуба во времени. Зная конструктивные параметры долота и скорость его вращения (т.е. зная промежуток времени между двумя ударами зуба по забою), можно подсчитать число колебательных знакопеременных движений точек зуба за время t и оценить число циклов до момента усталостного разрушения, т.е. оценить допустимое время работы зуба.



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: