Методы решения граничных задач

9 10 11 12 13 14 15

Задания для самостоятельной работы

Решить задачи Коши для уравнения теплопроводности

17.1. . 17.2. .

17.3. . 17.4. .

17.5. . 17.6. .

17.7. . 17.8. .

17.9. . 17.10. .

17.11. .

17.12. .

1. Решение граничных задач для уравнения теплопроводности начнем с рассмотрения задачи о распространении нестационарного температурного поля в тонком однородном стержне размером l, температура которого в начальный момент времени при t = 0 равна φ (х). При этом торцы стержня поддерживаются при нулевой температуре и на стержень не оказывают влияние внешние источники тепла. Сделаем математическую запись этой задачи: запишем исходное уравнение теплопроводности

, (17.9)

с начальными условиями

, (17.10)

и граничными условиями

. (17.11)

Решение этой задачи будем искать в виде

(17.12)

Вычислим от этой функции первую производную по t и вторую по x и подставим их в исходное уравнение (17.9)

или

(17.13)

Равенство (17.13) выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.

. (17.14)

Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка

(17.15)

. (17.16)

Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (17.16), удовлетворяющие граничным условиям (17.11), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям

. (17.17)

Таким образом, мы пришли к задаче: найти такие значения параметра l, которые, назовем собственными числами или собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения (17.16), которые соответствуют этим собственным значениям, будут при l >0.

В этом случае общее решение уравнения (17.14) имеет вид

удовлетворяя граничным условиям (17.17), получим

В уравнении постоянная С ₂ не может быть равной нулю, поскольку в этом случае, мы получим тривиальное решение задачи (16.9), (16.10) - Х (х) ≡ 0. Поэтому для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы выполнялось равенство , а оно выполняется только тогда, когда (n- любое целое число). Следовательно, нетривиальное решение задачи (17.16), (17.17) возможно лишь при собственных значениях l_n равных

. (17.18)

Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида

, (17.19)

которые будут являться нетривиальными решениями задачи (17.16), (17.17).

Собственные значения (17.19) подставим в уравнение (17.15)

. (17.20)

Это линейное однородное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид

. (17.21)

Подставляя функции (17.19) и (17.20) в (17.12), найдем

, (17.22)

где С_i – произвольные постоянные.

В силу линейности и однородности уравнения (17.9) всякая конечная сумма решений (17.22) также будет решением уравнения (17.9), поэтому можно записать

. (17.23)

Для определения значений постоянных С_n необходимо воспользоваться начальными условиям (17.10). Удовлетворяя в решении (17.23) условию (17.10), получим

. (17.24)

Это равенство представляет собой разложение функции φ (x) в ряд Фурье интервале (0, l) по синусам. Следовательно, С_n является коэффициентом ряда Фурье в, который можно определить по формуле

. (17.25)

Таким образом, ряд (17.24) полностью определяет решение исходной краевой задачи (17.9)-(17.11).

2. Рассмотрим следующую задачу. Определим закон распространения нестационарного температурного поля в тонком однородном стержне размером l, температура которого в начальный момент времени при t = 0 равна φ (х). При этом температура на торцах стержня изменяется: по закону μ(t) на конце x = 0 и по закону ν(t) на конце x = l. На стержень оказывают влияние внешние источники тепла по закону f(t,x). Сделаем математическую запись этой задачи: запишем исходное уравнение теплопроводности

, (17.25)

с начальными условиями

, (17.26)

и граничными условиями

. (17.27)

Решение этой задачи будем искать в виде

(17.28)

где v (t,x) – новая неизвестная функция; ϖ (t,x) – функция, определяемая граничными условиями по следующему правилу

. (17.29)

Таким образом, наша задача сводится к нахождению функции v (t,x), для этого необходимо вычислить вторые производные от функции (17.28)

(17.30)

и подставив их в исходное уравнение (17.25), получим

обозначив

получим окончательно

Полученное уравнение является уравнением относительно неизвестной функции v (t,x). Поставим для этой функции начальные и граничные условия в соответствии с условиями (17.27), (17.28). Запишем первое из начальных условий

или

Теперь запишем граничные условия для функции v (t,x).

Таким образом, мы перешли от задачи с неоднородными граничными условиями к однородным

; (17.31)

(17.32)

(17.33)

Решение этой задачи будем искать в виде

. (17.34)

Для нахождения неизвестной функции V_n (t) продифференцируем (17.34) дважды по t и по x

, (17.35)

, (17.36)

а также разложим функцию F (t,x) в ряд Фурье по синусам

, (17.37)

где . (17.38)

Подставив (17.35), (17.36) и (17.37) в уравнение (17.31), получим

В левой и правой частях полученного уравнения, имеются одинаковые функции , поэтому можно приравнять коэффициенты при этих функциях, в результате получим обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно искомой функции V_n (t)

. (17.39)

Общее решение этого уравнения найдем по формуле Эйлера

(17.40)

Таким образом, подставляя в решение (17.34) найденную функцию V_n (t), найдем решение уравнения (17.31).

. (17.41)

Однако в полученном решении еще не определены значения произвольных постоянных С_n. Их конкретные значения найдем, используя начальные условия (17.32)

.(17.42)

Это выражение представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам на интервале [0, l ]. Следовательно, С_n является коэффициентом ряда Фурье и его можно определить по формуле