Условия однозначности. Упрощающие предположения

Выше приведённая система дифференциальных уравнений выведена на основе общих законов физики, то есть описывают процесс тепломассообмена в жидкой среде в общем случае. Поэтому можно сказать, что полученные уравнения описывают целый класс явлений. Чтобы из бесконечного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с системой дифференциальных уравнений дают полное математическое описание процесса движения и теплообмена, называются условием однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

1. геометрические условия;

2. физические условия;

3. начальные (временные) условия;

4. граничные условия.

1) В геометрических условиях задаются форма и размер канала, в которых протекает процесс;

2) В физических условиях определяются теплофизические (теплоемкость с, плотность r, теплопроводность l) и реологические (коэффициент консистенции m₀, показатель аномалии n, температурный коэффициент) характеристики среды и материала, может быть задан закон распределения внутренних источников тепла, закон зависимости характеристик материала от температуры, координат;

3) Начальные условия (н.у.) необходимы при рассмотрении нестационарных (изменяющихся во времени) процессов и состоят задании распределения температуры, скоростей или напряжений в материале в начальный момент времени. В общем случае начальные условия аналитически может быть записано следующим образом:

При равномерном распределении температуры в теле и в состоянии покоя (без движения) начальное условие упрощается:

4) Граничные условия (ГУ) характеризуют взаимодействие среды с границами или стенками каналов. Задается искомая функция на границе. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Существуют граничные условия I, II, III и IV родов.

В ГУ I рода задаётся значение функции на границах для каждого момента времени:

В частном случае, когда искомая функция (величина) на границе является постоянной, в любой момент времени, то ГУ упрощаются:

,

В ГУ II рода задаются значения производной функции

,

в частном случае:

ГУ III рода – условия, в которых задается комбинация функции и её производной.

Такого рода граничные условия наиболее характерны задачам теплопроводности и выражают закон Ньютона-Рихмана о теплопередаче:

ГУ IV рода возникает тогда, когда есть разнородные среды, когда определяется тепловой поток из одной среды в другую.

Разновидности граничных условий жидкость – твердое тело:

1. Условие прилипания – жидкость прилипает к любой твердой поверхности и имеет ту же скорость, что и твердая поверхность, т.е. относительной скорости не существует, она равна нулю. Следовательно у неподвижной стенки скорость равна нулю, а у подвижной материал имеет скорость стенки. Такие ГУ возникают при обычных режимах течения и переработки полимеров.

Экспериментальное подтверждение отсутствия проскальзывания полимерных расплавов при низких скоростях течения было дано Оттером. Он использовал для наблюдения некоторые частицы, введённые в расплав полиэтилена, и изучал условия течения вблизи стенки.

2. Проскальзывание на границе возникает в случае повышенных скоростей движения и очень часто при деструкции материала. Суть в том, что близлежащие слои не приобретают ту же скорость, что и подвижная стенка, а имеют некоторое свое значение скорости. Этот случай типичен, например, для расплавов ПЭВД.

3. Стик-слип. Возникает при течении вязко-упругих сред. Суть взаимодействия: выполнение то первого, то второго условия (то прилипания, то проскальзывания).

В начальный момент движения в вязкоупругой среде накапливается напряжение, которое при достижении некоторого критического значения преодолевают силы сцепления (адгезии) между жидкой средой и твердой стенкой и начинается процесс проскальзывания.

Во время проскальзывания происходит релаксация (уменьшение) напряжений и в какой то момент возникает условия прилипания.