Сетки и сеточные функции

Метод конечных разностей.

Метод конечных разностей или меток сеток на сегодняшний день является одним из самых распространенных методов приближенного решения краевых задач. Суть метода в следующем:

1. Область непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного аргумента, выделяются точки, называемые узлами. Наносится сетка.

2. Область непрерывного изменения функции заменяется областью дискретного изменения функции, когда функция определена только в узлах сетки и называется сеточной функцией.

3. Все производные, входящие в определяющие уравнение и краевые условия заменяются (аппроксимируются) алгебраическими соотношениями сеточных функций.

4. Вместо интегрирования дифференциального уравнения записывают разностную схему и решают систему линейных алгебраических уравнений.

При использовании МКР нужно:

1. Выбрать сетку;

2. Выбрать разностную схему;

3. Определить точность аппроксимации;

4. Проанализировать устойчивость и сходимость разностной схемы к точному решению;

5. Провести тестовый расчет.

Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависит от точного выбора сетки.

Рассмотрим несколько видов сеток.

1. Равномерная сетка

- область изменения аргумента.

Разобьем этот отрезок точками , *10 на N равных частей длиной (h – шаг сетки). Таким образом мы задали равномерную сетку в области изменения аргумента. Обозначается:

2. Неравномерная сетка получается в том случае, когда ,

пример:

3. Сетка на плоскости.

Если шаги сетки по каждому из переменных (x, y) одинаковы, то сетка называется равномерной. Если же хотя бы по одной переменной шаг непостоянен, то сетка – неравномерная. Введение сетки:

Метод конечных разностей сводится к замене производных, входящих в уравнения и краевые условия, разностными отношениями.

Классическое определение производной функции одной переменной записывается в виде:

Разложим функцию U в ряд Тейлора в окрестностях точки x₀

Положим, что , получим: *11 Это равенство называется правой разностью.

Другая форма записи правой разности:

Если , то получим левую разность:

Существует также третья форма записи разностного отношения, называемая центральной разностью:

Если задана функция u(x), то графически интерпретация производных трёх типов содержат:

AB – левая разность;

CB – правая разность;

АС – центральная разность.

Узлы, которые задействованы в аппроксимации производной, называются шаблонами аппроксимации.

Получим разностное соотношение для второй производной:

Сначала представим U_xx через U_x, используя правую разность:

(5.1)

Далее производные и рассмотрим через левую разность для того, чтобы конечный результат не был смещен вправо, т.е. чтобы не было погрешности.

(5.2)

Подставив (5.2) в (5.1), получим:

С использованием сетки вторая производная имеет вид: