2014-02-12
701
Рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности:
– коэффициент температуропроводности.
В данном случае температура является функцией двух переменных. Поэтому вводится сетка, как для переменной t, так и для переменной y.
Производная по времени может быть аппроксимирована как правой, так и левой разностью. В каждом конкретном случае получают или используют свой шаблон.
Вводим сетку:
Разностные схемы:
- неявная, известно только 
:
(5.5)
- явная, т.е. неизвестно только 
, сразу выражаем, находим:
(5.6)
Разберем явную разностную схему.
Из (5.6) выразим : 
(5.7)
Шаблон для явной схемы:
| Поскольку в этом шаблоне задействованы точки на двух временных слоях, то шаблон называется двухслойным. |
ГУ в разностных соотношениях запишутся так:
(5.8)
Выражения (5.6) и (5.8) определяют систему уравнений.
Из (5.7) получаем значения для первого момента времени, потом – для второго и т.д.
Для данной задачи имеется ограничение: связь по времени: 
Неявная разностная схема:
Выразим из (5.5) :
|
|
|
ГУ:
Шаблон для неявной разностной схемы:
Запишем систему уравнений для i=2:
(5.9)
В системе (5.9) известны 
, 
, а также все значения справа от знака равенства.
Решая систему (5.9), можно найти все значения температур на первом временном слое.
Зная значения на первом временном слое, можно найти значения температур во всех точках на втором временном слое (n=2):
В результате для каждого момента времени получаем свое распределение температуры по y.
