Метод перебора состояний

ЛЕКЦИЯ 7

А б

Для всех элементов структурной схемы известны вероятности безотказной работы Р₁ Р₂ Р₃ Р₄ Р₅ и соответствующие им вероятности отказа (обрыв) q₁ q₂ q₃ q₄ q₅. Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками «а» и «в».

Существует несколько методов расчета надежности систем со сложной структурой.

Метод перебора состояний, основанный на теории множеств, применяется в случаях, когда структурная схема надежности не содержит только последовательно-параллельное соединение элементов.

В качестве примера рассмотрим мостовую схему надежности.

а б

Для всех элементов данной структурной схемы известны вероятности безотказной работы p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ и соответствующие им вероятности отказа (обрыв цепи) q₁ q₂ q₃ q₄ q₅. При этом все элементы приняты равнонадежными: вероятность безотказной работы 0,9; вероятность отказа 0,1.

Определить вероятность наличия цепи между точками «а» и «в».

Сущность метода состоит в определении двух непересекающихсямножеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособном состояниях.

Известно, что при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях. Тогда при числе состояний равном , вероятность работоспособного состояния системы и вероятность отказа определяется выражениями

; .

Здесь m – общее число работоспособных состояний в каждом j-том состоянии;

вероятность исправного состояния элемента;

вероятность неисправного состояния элемента;

число исправных элементов;

число неисправных элементов.

Расчет надежности с использованием метода перебора состояний удобно представлять в виде таблицы, в которой введены следующие обозначения:

работоспособное состояние элемента;

неработоспособное состояние элемента.

Таблица перебора состояний для мостиковой схемы

№ состояния	Состояние элементов	Вероятность состояния
1.	+	+	+	+	+	Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 = 0.95
2.	-	+	+	+	+	Р2 Р3 Р4 Р5 q1	= 0.1*0.94
3.	+	-	+	+	+	Р1 Р3 Р4 Р5 q2
4.	+	+	-	+	+	Р1 Р2 Р4 Р5 q3
5.	+	+	+	-	+	Р1 Р2 Р3 Р5 q4
6.	+	+	+	+	-	Р1 Р2 Р3 Р4 q5
7.	-	+	-	+	+	Р2 Р4 Р5 q1 q3	0.12*0.93
8.	-	+	+	-	+	Р2 Р3 Р5 q1 q4
9.	-	+	+	+	-	Р2 Р3 Р4 q1 q5
10.	+	-	-	+	+	Р1 Р4 Р5 q2 q3
11.	+	-	+	-	+	Р1 Р3 Р5 q2 q4
12.	+	-	+	+	-	Р1 Р3 Р4 q2 q5
13.	+	+	-	+	-	Р1 Р2 Р q3 q5
14.	+	+	+	-	-	Р1 Р2 Р3 q4 q5
15.	-	+	-	+	-	Р2 Р5 q1 q3 q5	= 0.13*0.92
16.	+	-	+	-	-	Р1 Р3 q2 q4 q5

При принятых исходных данных вероятность работоспособного состояния системы:

Подставляя числовые значения, получаем 0,978.

При сравнительно простой структурной схеме надежности применение метода перебора состояний сопряжено с громоздкими выкладками и вычислениями. Однако применение современных компьютерных технологий устраняет данное ограничение.