Теорема 4

Пусть некоторое событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) Н_i (i =1,2,…, n) и известны априорные вероятности гипотез Р (Н_i), условные вероятности Р (А / Н_i) события А при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, а также известно, что событие А произошло, то апостериорная вероятность гипотезы Нi (i =1,2,…, n) определяется по формуле

(3.2)

Эта формула называется формулой Байеса или теоремой гипотез.

Доказательство. На основании теоремы 2 о вероятности произведения двух событий определим вероятность одновременного появления событий А и Н_i в одном опыте:

Р (А ∙ Н_i) = Р (А) ∙ P (Н_i /А) = P (Н_i) ∙ P (А/Н_i)

Выразим P(Н_i /А) через остальные вероятности:

что и требовалось доказать.

Прикладное значение формулы Байеса довольно велико. Она находит свое применение в

1. теории распознавания образов,

2. технической диагностике для поиска неисправности,

3. в медицинской диагностике для постановки диагноза больному,

4. в радиолокационной технике для отделения сигнала от шума

и во многих других задачах, когда необходимо выявить вероятную причину (гипотезу) происшедшего события.