Дробные двухуровневые факторные планы

ЛЕКЦИЯ 9.

Поэтому при построении линейной модели часто используют дробные факторные планы (ДПФ), представляющие собой часть ПФП. Так как при этом часть информации теряется, то оценки линейных эффектов удает­ся получить лишь в смеси с некоторыми из эффектов взаимодействия.

Вместо понятия полный или дробный факторный план (ПФП или ДФП) часто используют понятие полный или дробный факторный эксперимент (ПФЭ. ДФЭ).

При построении дробного факторного плана для определения ли­нейных эффектов К независимых переменных составляется ПФП для час­ти из них (n факторов x₁,...,x_n, n < k). Число этих факторов выби­рается таким образом, чтобы число опытов ПФП N=2ⁿ было не меньше числа оцениваемых параметров (k+1). Для остальных m=k-n переменных их значения формируются перемножением значений выбранных перемен­ных из первой группы (например, x_n+1=x₁x₂…х_n). Этим обеспечи­вается смешивание линейных эффектов этой переменной с эффектами взаимодействия выбранных переменных (в нашем случае линейный эффект переменной х_n+1 смешивается с эффектом взаимодействия x₁x₂...x_n). Выражение, определяющее, с каким из эффектов взаи­модействия смешан линейный эффект переменной, называется генериру­ющим соотношением (в нашем случае это x_n+1=x₁x₂…x_n). При вы­боре эффектов взаимодействия, с которыми смешиваются линейные эф­фекты, рекомендуется выбирать те взаимодействия, эффект от влияния которых на выходную переменную как можно меньше.

Если априорная информация об этом отсутствует, то рекоменду­ется выбирать взаимодействия более высокого порядка, так как их влияние, как правило, существенно ниже. Если при построении ДФП в дополнение к ПФП типа 2ⁿ строился один столбец (одна переменная) с использованием генерирующего соотношения, то такой ДФП называется полурепликой; если 2 столбца (2 переменные) - то четвертьрепликой и т.д.; в случае m дополнительных столбцов - 1/2^m-репликой.

Знание генерирующих соотношений, используемых при построении ДФП, позволяет для всех переменных определить, с какими эффектами взаимодействия смешаны их линейные эффекты. Рассмотрим это на при­мере ДФП, заданного в виде полуреплики для к=4 с помощью генерирующего соотношения x₄=x₁x₂x₃. Построим матрицу такого
2^n-m=2^4-1 ДФП (табл. 6.1).

Таблица 6.1.

Домножим обе части генерирующего соотношения на переменную, для построения значений которой оно используется: х₄x₄ = х₁х₂x₃х₄ = 1 (так как х₁х₁=1). Это выражение называется оп­ределяющим контрастом.

Умножив поочередно каждую из переменных на определяющий конт­раст, получим:

x₁=x₁² x₂ x₃ x₄ = x₂ x₃ x₄

x₂=x₁ x₂² x₃ x₄ = x₁ x₃ x₄

x₃=x₁ x₂ x₃² x₄ = x₁ x₂ x₄

Это означает, что полученные с помощью такого плана оценки коэффициентов линии регрессии b_i i=1,...,k на самом деле включают в себя коэффициенты, учитывающие взаимодействия факторов, т.е.:

, , ,

Если при формировании плана 2^4-1 использовать генерирующее соотношение вида x₄=x₁x₂. то получим: I = х₁х₂х₄ и соответс­твенно:

, ; , ;

, ; ,

При выборе полуреплики 2^4-1 всего возможно 8 генерирующих со­отношений: х₄= х₁х₂; x₄=x₁x₃; x₄=x₂x₃; x₄=-x₁x₂; х₄=-х₁х₃; х₄=-х₂х₃; х₄=х₁х₂х₃; х₄=-х₁х₂х₃ и. соответственно. 8 вариантов оценок коэффициентов b_i в смеси с различными эффектами взаимо­действия (8=(С₃³+С₃²) 2).

В общем случае наиболее эффективными являются реплики, у ко­торых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего по -рядка. Они обладают максимальной разрешающей способностью (число факторов в определяющем контрасте). Для реплики 2^4-1 максимальная разрешающая способность равна 4.

При построении ДФП в виде 1/4 реплики используются 2 генери­рующих соотношения, 1/8 реплики - 3 генерирующих соотношения и т.д. Для определения системы смешивания эффектов используется обобщающий определяющий контраст, который включает в себя все оп­ределяющие контрасты, используемые при построении ДФП и их произ­ведения. Например, при построении ДФП вида 2^5-2 с использованием генерирующих соотношений x₄=х₁х₂х₃ и х₅=х₁х₂ обобщающий опреде­ляющий контраст будет: I

Умножая его поочередно на х1,х2,Хз,х4,Х5 получим:

x₁=х₂х₃х₄=х₂x₅=х₁х₃х₄х₅;

x₂=х₁х₃х₄=х₁х₅=х₂х₃х₄х₅;

x₃=х₁х₂х₄=х₁х₂x₃x₅=х₄x₅;

x₄=х₁х₂х₃=х₁х₂х₄х₅=х₃х₅;

x₅=х₁х₂х₃х₄х₅=х₁х₂=х₃х₄;

Всего вариантов формирования четверть-реплики вида 2^5-2 будет двенадцать (12=2С₄²). Среди них желательно выбирать такие, где в обобщающем определяющем контрасте отсутствуют тройные произведения (смешивания взаимодействия 2-го порядка с линейными эффектами в этом случае не происходит).

- Поскольку с ростом числа факторов избыточность ПФП резко возрастает, то возрастает и целесообразность, и эффективность приме­нения ДФП.