Проведение экспериментов и анализ линейной регрессии с помощью полных и дробных факторных планов

Лекция 10

Пусть рассматривается линейная модель вида

у(х,b)=b₀ + b₁ x₁ +...+ b_k x_k. (6.2)

Для оценки коэффициентов и анализа полученных результатов ис­пользуется ПФП вида 2^k или ДФП вида 2^k-m. В каждой точке плана проводится один эксперимент. Так как ошибки наблюдений в общем случае складываются из случайных и систематических, то для компен­сации влияния систематических ошибок наблюдения рандомизируются во времени, т.е. проводятся в случайной последовательности. Выбор очередной точки наблюдения производится случайным образом равнове­роятно из оставшихся.

Ошибки наблюдений считаются везде независимыми нормально распределенными случайными величинами с ; . Тогда матрица весов наблюдений будет единичной: W = Е. Для оценки ошибки наблю­дений в одной из точек плана (как правило, в центральной точке) проводится п0 экспериментов. Матрица F имеет вид

В соответствии с МНК нормальные уравнения имеют вид , отсюда уравнения для коэффициентов регрессии будут: .

Информационная матрица диагональная, невырожденная и равна: М = N E_k+1. Дисперсионная матрица также диагональна и рав­на: . Следовательно, оценки коэффициентов регрессии независимы и равны:

i=1,...,К.

В случае ДФП коэффициенты b₁ включают в себя эффекты взаимо­действия в соответствии с генерирующими соотношениями, используе­мыми при построении плана. Дисперсия оценок коэффициентов регрес­сии равна i = 0,...,k. Как видим для всех D_i она одинакова.

Оценка дисперсии воспроизводимости ищется по п0 наблюдениям в центре плана х₀:

, где

Оценка дисперсии адекватности:

, где

Для проверки адекватности модели вычисляется статистика: , подчиненная F-распределению с числом степеней сво­боды r_ад = N-(k+l) (числитель), r_вос = п₀-1 (знаменатель). Если и<икр, то модель адекватна.

Для проверки значимости коэффициентов DI используется статис­тика: , подчиненная t-распределению с r_b=n₀-l.

Если lU₁l < U_Kp, то коэффициент b₁ - незначим.

Для проверки значимости влияния квадратичных факторов, как и ранее, используется статистика U (6.1), подчиненная t-распределению с числом степеней свободы г=n₀-1. Если U < U_кр, то влияние квадратов x₁² незначимо и им можно пренебречь.

Дисперсия оценки , вычисленной по уравнению регрессии, будет:

где х^* задается в стандартизованном виде: . Как видим, дисперсия оценки зависит только от расстояния между точкой х^* и центром плана, т.е. полные и дробные двухуровневые факторные планы для линейных моделей вида (6.2) - ротатабелъные. Величина самой оценки выходной переменной у будет

Доверительный интервал для выходной переменной составляет: , где берется из t-распределения при числе степеней свободы г = n₀-1.