Критерий оптимальности при выборе плана эксперимента

Лекция 11

Одна из основных задач теории планирования эксперимента состоит в выборе такого плана эксперимента, чтобы он обеспечивал получение наилучших, в определенном смысле, результатов исследований. При этом оптимальность плана определяется задачей, стоящей перед экспериментом, видом модели, стоимостью отдельных опытов, областью планирования эксперимента и т.д..

Важнейшей характеристикой плана, влияющей как на стоимость и: длительность исследований, так и на точность получаемых результатов, является число наблюдений. По числу экспериментов планы бывают насыщенные, ненасыщенные и сверхнасыщенные. План называется насыщенным, если число экспериментов равно числу определяемых пара-t метров модели (N=к+1 для линейной модели). Однако такой план не позволяет определить адекватность модели. Если N больше числа оп­ределяемых параметров, то план ненасыщенный. В некоторых задачах (например, при выявление значимых факторов из общей совокупчости [1]) используются сверхнасыщенные планы, в которых число экспериментов N меньше числа параметров модели (выявляется только часть значимых параметров).

Среди критериев оптимальности, используемых в планировании эксперимента, можно выделить две группы.

К первой группе относятся критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии, ко второй - с ошибкой в оценке за­висимой переменной у.

К критериям первой группы относятся:

- критерий D-оптимальности. Он обеспечивает минимальный объем эллипсоида рассеяния оценок уравнения регрессии, что требует тако­го расположения точек плана в области , при котором определитель дисперсионной матрицы был бы минимальным (или, что то же самое, );

- критерий А-оптимальности. Ему отвечают планы с минимальной средней дисперсией оценок коэффициентов (минимум суммы квадратов главных полуосей эллипсоида рассеивания), чему соответствует наи­меньшее значение следа дисперсионной матрицы (суммы элементов, стоящих на главной диагонали,

К критериям второй группы, связанным с ошибкой оценки поверх­ности отклика, можно отнести:

- критерий G-оптимальности. Ему отвечает план, обеспечивающий наименьшую по сравнению с другими планами величину максимальной дисперсии отклика во всей области планирования . Достижение воз­можно большей точности модели связано, как правило, с лучшим ис­пользованием области планирования при проведении эксперимента;

- критерий ротатабельности (ротатабельность - инвариантность ковариационной матрицы относительно ортогонального вращения (рота­ции) системы координат). Ротатабельность плана позволяет получить одинаковую дисперсию предсказанных значений функции отклика во всех точках, равноудаленных от центра плана, вне зависимости от направления.

Кроме рассмотренных используются и другие критерии [1,2].

Следует отметить, что свойства плана связаны с видом анализи­руемой модели. При изменении вида модели свойства одного и того же плана могут меняться (см. пример).

На практике частo истинный вид модели априорно неизвестен. Поэтому первоначально эксперимент планируется исходя из предполо­жения о линейности модели относительно независимых переменных. После проведения опытов и построения такой модели проверяется ее адекватность. Если модель неадекватна, то переходят к построению модели более высокого порядка. При этом при построении плана для модели более высокого порядка целесообразно использовать точки, в которых уже проводился эксперимент.

Планы, которые обеспечивают возможность использования точек, применяемых для построения полинома степени d. в качестве подмножества точек, необходимых для оптимального плана формирования по­линома степени (d+1), называются композиционными планами порядка (d+1). Так, планы для квадратичных моделей, построенные путем до­бавления точек к плану для линейной модели, называются композици­онными планами 2-го порядка. Такое построение планов, использующих результаты предыдущих наблюдений, сокращает общее число опытов и отвечает последовательной стратегии планирования эксперимента.

Выбор критерия оптимальности плана осуществляется исходя из конкретного содержания решаемой задачи. Часто полезно бывает стре­миться к тому, чтобы один и тот же план удовлетворял нескольким критериям (например, для линейной модели вида Y=B X ортогональный план является одновременно и ротатабельным).

Однако часто бывает целесообразным отказаться от одних свойств ради достижения других (от ортогональности в пользу D-оптимальности) или ради возможности проверки адекватности модели и т.п. Поскольку на первом этапе исследований наиболее часто исполь­зуются линейные регрессионные модели, начнем рассмотрение вопросов выбора плана эксперимента с планов, предназначенных для построения линейных уравнений регрессии.