Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Пусть дана система S, имеющая п каналов обслуживания, на которые поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Пусть поток обслуживания также простейший и имеет интенсивность μ. Очередь на обслуживание не ограничена.

По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S₀,S₁,S₂,…,S_k ,… S_n, где S_k – состояние системы, когда в ней находится k заявок (максимальное число заявок под обслуживанием - n). Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 6:

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S₀S₁S₂S_m+1S_n

μ 2μ 3μ ^………. kμ (k+1)μ ^…… nμ nμ

Рисунок 6: Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Интенсивность потока обслуживаний меняется в зависимости от состояния системы: kμпри переходе из состояния S_kв состояние S_k_-1 так как может освободиться любой из kканалов; после того, как все каналы заняты обслуживанием, интенсивность потока обслуживаний остается равной пμ, при поступлении в систему следующих заявок.

Для нахождения финальных вероятностей состояний получим формулы аналогично тому, как это было сделано для одноканальной системы.

(63)

Отсюда формулы для финальных вероятностей выражаются через

(64)

Для нахождения р₀ получим уравнение:

(65)

Для слагаемых в скобках, начиная с (n + 2)-го, можно применить формулу нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ρ/n:

(66)

Окончательно получим формулу Эрланга для нахождения вероятности простоя системы:

(67)

Приведем формулы для расчета основных яоказателей эффективности работы системы.

Система будет справляться с потоком заявок, если

выполнено условие

, (68)

которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время. При этом вероятность отказа в обслуживании равна нулю.

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события, то есть единице:

(69)

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженныхсистемой в единицу времени:

(70)

Если система справляется с потоком заявок, то в стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности потока поступающих в систему заявок, так как обслуживаются все заявки:

ν=λ. (71)

Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

(72)

Среднее время обслуживания каналом одной заявки;

. (73)

Вероятность того, что при поступлении в систему заявка окажется в очереди, равна вероятности того, что в системе находится более чем п заявок:

(74)

Число заявок, находящихся под обслуживанием, равно числу занятых каналов:

(75)

Среднее число заявок в очереди:

(76)

Тогда среднее число заявок в системе:

(77)

Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди):

(78)

(79)

Многоканальную СМО с неограниченной очередью можно рассмотреть в системе Mathcad.

Пример 1:

Салон-парикмахерская имеет 5 мастеров. В час пик интенсивность потока клиентов равна 6 человек. В час. Обслуживание одного клиента длится в среднем 40 минут. Определить среднюю длину очереди, считая ее неограниченной.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Пример 2:

В железнодорожной кассе имеются 2 окна. Время на обслуживания одного пассажира 0,5 минут. Пассажиры подходят к кассе по 3 человека. Определить все характеристики системы.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.