Многоканальная СМО с отказами

Задача исследования таких СМО впервые возникла в области телефонии и была решена в 1909 г. А.К. Эрлангом.

Состояния системы занумеруем по числу занятых каналов. Для СМО с отказами это означает, что мы нумеруем состояния по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под обслуживанием, поскольку каждый канал в любой момент времени либо свободен, либо обслуживает только одну заявку. Таким образом, СМО может находиться только в одном из ледующих п + 1 состояний:

λ₀₁=λ λ₁₂= λ λ_k-1,k= λ λ_k,k+1= λ λ_n-2,n-1= λ λ_n-1,k= λ

……..…..

S₀ S₁ S_k S_n-1 S_n

……. …….

λ₁₀=μ λ₂₁=2μ λ_k,k-1=kμ λ_k+1,k = λ_n-1,n-2= λ_n,n-1=nμ

=(k+1)μ =(n-1) μ

Рисунок номер 4: функционирование системы S.

Если СМО находится в состоянии S_k (k=0,1,…,n-1), т. е. когда k каналов заняты обслуживанием заявок, а остальные n-k каналов свободны, то перескок ее в состояние S_k+1 происходит при поступлении на вход новой заявки. Таким образом, по стрелкам слева направо из любого состояния в соседнее состояние справа систему переводит один и тот же входящий поток заявок П_вх с интенсивностью λ. Следовательно, плотность вероятности перехода λ_k,k+1 (k = 0, 1,..., n-1) из любого k -го состояния в (k+1)-е состояние равна λ:

λ₀₁ = λ₁₂ =…= λ_n-1,n = λ (15)

что и проставлено над стрелками, слева направо.

Т.к. входящий поток П_вх простейший, то он является ординарным, т.е. заявки поступают по одной. Поэтому СМО, меняя свои состояния слева направо, не может перескочить через состояние, а переходит только в соседнее справа состояние. По этой причине на графе (рисунок 4) отсутствуют стрелки, перескакивающие через состояния слева направо.

Вероятность того, что одновременно, точно в один и тот же момент, освободятся более одного канала, пренебрежимо мала, т.е. такие события практически невозможны. Поэтому на графе нет стрелок, "перескакивающих" через состояния справа налево.

На переход занятого канала в состояние свободного действует простейший поток обслуживания П_об с интенсивностью μ. Но тогда переход СМО в целом из состояния S_k (в котором k каналов заняты, а n-k свободны) в состояние S_k-1 (в котором по сравнению с предыдущим освободился один из kзанятых каналов) происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний П^k_об, представляющего собой результат наложения k потоков обслуживаний П_об, действующих на каждый из kзанятых каналов. При этом интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков.

р₀,:

или, с учетом формулы

получим формулы Эрланга:

где ρ - показатель нагрузки канала обслуживания.

Формулы для вероятностей предельных состояний буду иметь вид:

, , ……., , (22)

Приведем формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.

Число каналов, которые необходимо иметь, чтобы система справлялась с потоком заявок, определим из условия

. (23)

В этом случае выполняется соотношение

, (24)

которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время.

Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему все п ее каналов будут заняты:

(25)

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события:

(26)

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженных системой в единицу времени:

(27)

Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

(28)

(29)

или

(30)

Формула Литтла показывает, что среднее время Т_сис пребывания заявки в СМО равно среднему числу заявок в системе Nсис, деленному на интенсивность λ входящего потока заявок, или, другими словами, среднее время Т_сис пребывания заявки в СМО прямо пропорционально среднему числу заявок в системе Т _сис с коэффициентом прямой пропорциональности, равным обратной величине интенсивности λ входящего потока заявок.

Среднее время обслуживания каналом одной заявки:

(31)

Поток обслуживания П_об каждым каналом будет простейшим с интенсивностью

(32)

Где - среднее время обслуживания одной заявки.

Многоканальную СМО с отказамиможно решить в Mathcad.

Пример:

Заявки на телефонные переговоры в переговорный пункт поступают с интенсивностью 90 заявок в час. Считая среднюю продолжительность разговора равной 3 минутам, определить оптимальное число телефонных номеров, чтобы 90% всех заявок на переговоры были удовлетворены.