Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Расчеты основных показателей функционирования системы, имеющей nканалов обслуживания, с ограничением мест в очереди, проводятся аналогично тем, которые были сделаны для системы с неограниченной очередью. Особенностью функционирования систем с ограничением длины очереди является конечное число состояний системы.

Пусть на каналы обслуживания поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Поток обслуживания, поступающий с одного канала, также простейший и имеет интенсивность μ. Число мест в очереди ограничено и равно т.

По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы:

S₀ - состояние простоя;

……….

S_п - состояние системы, когда все каналы заняты обслуживанием;

S_п+1 - все каналы заняты, одна заявка находится в очереди;

S_п+т - в очереди т заявок.

Так как потоки заявок и обслуживания ординарны, граф состояний изображается в виде схемы гибели и размножения. Отличие от подобной схемы для неограниченной очереди состоит только в том, что число состояний конечно. Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 7:

λ λ λ λ λ λ

……. …….

S₀ S₁ S₂ S_n S_n+m

μ 2μ 3μ ^………. nμ nμ ^…… nμ

Рисунок 7: Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Составим систему алгебраических уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний:

(80)

Откуда получим формулы Эрланга для многоканальной системы с ограниченной очередью:

(81)

Последние т слагаемых в скобках представляют собой сумму т первых членов геометрической прогрессии со знаменателем ρ/n которая равна:

(82)

Таким образом, для вычисления р₀ получим формулу:

(83)

Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:

(84)

Приведем формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.

Число каналов, которые необходимо иметь, чтобы система справлялась с потоком заявок, определим из условия

(85)

В этом случае выполняется соотношение ρ < 1.

Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему все nее каналов будут заняты, и в очереди заняты все mмест:

(86)

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события:

(87)

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженных системой в единицу времени:

(88)

Так как каждый канал обслуживает μзаявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

(89)

Среднее время обслуживания каналом одной заявки:

(90)

Среднее число заявок в очереди:

(91)

Среднее число заявок под обслуживанием равно среднему числу занятых каналов:

(92)

Среднее число заявок в системе (под обслуживанием и в очереди) равно:

(93)

Многоканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.

Пример:

Площадка АЗС вмещает не более 3-х машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Интенсивность потока обслуживания λ=0,5 машин в минуту. Интенсивность потока обслуживания μ=0,4 машины в минуту. Определить все характеристики СМО.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Продолжение задачи в Mathcad.