Одноканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим функционирование одноканальной системы S, в которую поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ.

По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S₀,S₁,S₂,…,S_k ,… S_n, где S_k – состояние системы, когда в ней находится k заявок (одна обслуживается, остальные k-1 стоят в очереди). Никаких ограничений на длину очереди нет. Примерами таких систем может служить телефон-автомат, кассир в магазине, железнодорожная касса и т.д. Так как поток заявок и обслуживания ординарен, и число состояний системы бесконечно, граф состояний такой системы изображается в виде схемы гибели и размножения на рисунке номер 4:

λ λ λ λ λ

……..…..

S₀ S₁ S₂ S_k

μ μ μ ^………. μ μ ^……..

Рисунок 4: Одноканальная СМО с ожиданием.

Интенсивность μ, потока обслуживаний не меняется при переходе из состояния S_k в состояние S_k-1 и обратна по величине среднему времени обслуживания заявки:

(33)

Финальные вероятности состояний такой системы существуют только в случае,если выполнено условие ρ < 1, так как в этом случае очередь не будет расти до бесконечности.

Уравнение для нахождения р₀ получим аналогично тому как это было сделано для одноканальной системы с отказами:

(34)

С учетом формулы

, (35)

получим

(36)

где ρ – показатель нагрузки канала обслуживания.

Так как при ρ < 1 предельные вероятности существуют, то выражении ев скобках представляет собой сумму бесконечного числа членов убывающей геометрической прогрессии, предел которого равен:

(37)

откуда

(38)

Фрмула для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:

, , ……., , … (39)

Предельные вероятности состояний S_k также образуют убывающуб геометрическую прогрессию, поэтому наиболее высокой будет вероятность р₀, то есть вероятность простоя системы и готовности принять заявку к обслуживанию.

Формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.

Вероятность отказа в обслуживании заявки при условии неограниченности очереди равна нулю, так как все заявки в конце концов будут обслужены. Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равна единице:

. (40)

Абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока, так как обслуживаются все заявки:

(41)

Среднее время обслуживания каналом одной заявки:

(42)

Так как вероятность того, что в системе находится kзаявок, равна р_k, среднее число заявок в системе определим как математическое ожидание числа заявок в системе (под обслуживанием и в очереди):

(43)

Подставив в формулу выражение для р_k, получим:

(44)

При ρ < 1 такой ряд сходится, что можно проверить, воспользовавшись каким-либо признаком сходимости числовых рядов.

Заметим, что kρ^k - это производная по ρ функции ρ^k.

Применив правило вычисления производной суммы, поменяем местами знак суммы и знаки дифференцирования:

(45)

Но теперь под знаком суммы находится убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы. Поэтому

(46)

Среднее число заявок под обслуживанием L _об найдем как математическое ожидание числа обслуживаемых заявок. Это либо 0 заявок, когда канал свободен, либо 1 заявка, когда канал занят:

(47)

Отсюда видно, что среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:

(48)

Очевидно, среднее число заявок в очереди равно разности между числом заявок в системе и числом обслуживаемых заявок:

(49)

Среднее время пребывания заявки в системе (или в очереди) можно найти по формулам Литтла, разделив среднее число заявок в системе (в очереди) на интенсивность потока заявок:

(50)

(51)

Формулы Литтла основаны на том, что если система справляется с потоком заявок, то интенсивности входящего и выходящего потока заявок равны, то есть обслуживаются все заявки, поступающие в систему.

Одноканальную СМО с ожиданием можно рассмотреть в Mathcad.

Пример:

Железнодорожная касса обслуживает по одному человеку. Интенсивность потока пассажиров 0,45. Среднее время обслуживания одной заявки 2 минуты. Найти все предельные характеристики

эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданиями.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.