2015-01-21
1295
В систему поступает пуассоновский поток требований интенсивностью λ, поток обслуживания имеет интенсивность μ, максимальное число мест в очереди – т. Если заявка поступает в систему, когда все места в очереди заняты, она покидает систему необслуженной.
Финальные вероятности состояний такой системы всегда существуют, так как число состояний конечно:
S0 – система свободна и находится в состоянии простоя;
S1 – обслуживается одна заявка, канал занят, очереди нет;
S2 – одна заявка обслуживается, одна в очереди;
…
Sm+1 - одна заявка обслуживается, т в очереди.
Граф состояний такой системы показан на рисунке номер 5:
λ λ λ λ λ
…….
S0 S1 S2 Sm+1
μ μ μ ………. μ μ
Рисунок 5: Одноканальная СМО с ограниченной очередью.
В формуле для р0 найдем сумму конечного числа членов геометрической прогрессии:
(52)
С учетом формулы для ρ получим выражение:
(53)
В скобках находится (m+2) элементов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ρ. По формуле суммы (m+2) членов прогрессии:
(54)
Отсюда
(55)
Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:
(56)
Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему ее канал будет занят и все места в очереди также заняты:
(57)
Отсюда вероятность обслуживания (а также и от носительная пропускная способность) равны вероятности противоположного события:
(58)
Абсолютная пропускная способность – число заявок, обслуженных системой в единицу времени:
(59)
Среднее число заявок под обслуживанием:
(60)
Среднее число заявок в очереди:
(61)
Среднее число заявок в системе:
(62)
Одноканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.
Пример:
На стоянке обслуживается 3 машины с интенсивностью потока 0,5 и средним временем обслуживания 2,5 минуты. Определить все показатели системы.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
