Теорема 3. Пусть на вероятностном пространстве (W,F,Р) определена полная группа несовместных событий B1, B2,..., Bn, вероятности которых известны Р(Bi), . Событие А может появиться при появлении одного из событий Bi, причем условные вероятности Р(А/Bi) известны. Тогда вероятность Р(А) определяется следующим образом:
(1)
(1) - формула полной вероятности.
Доказательство: Событие А можно представить
А=АW=А()= ,
т.к. Bi - несовместны, то АBi - тоже несовместны, поэтому
Р(А)= =
Пример. Как следует разложить два белых и два черных шара по двум урнам, чтобы при случайном выборе урны вероятность вынуть из неё белый шар была наибольшей?
Решение: Обозначим: Bi={выбор i-той урны}, i=1,2; A={вынут белый шар}. Условные вероятности Р(А/Bi) зависят от того, как разложены шары:
1) Все шары положены в одну урну
Р(А/B1)=2/4=1/2, Р(А/B2)=0, Р(А)=1/2×1/2+0×1/2=1/4
2) В одной урне все белые шары, в другой все черные.
Р(А/B1)=1, Р(А/B2)=0, Р(А)=1/2×1+1/2×0=1/2.
3) В каждой урне по одному белому и одному черному шару.
Р(А/B1)=Р(А/B2)=1/2, Р(А)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2
|
|
4) В одну урну положили черный шар, в другую - все остальные.
Р(А/B1)=0, Р(А/B2)=2/3, Р(А)=2/3×1/2=1/3
5) В одну урну положили белый шар, в другую – все остальные
Р(А/B1)=1, Р(А/B2)=1/3, Р(А)=1/3×1/2+1/2×1=2/3
Ответ: Наибольшая вероятность Р(А) в пятом варианте раскладки шаров.