Функция

Глава 4. Введение в математический анализ

Опр.1. Пусть . Однозначное отображение мн-ва называется действительной функцией одного дейст. переменного. Обозначается: или . Мн-во наз. областью опр-ния
ф-и ; мн-во наз. областью значений ф-и. .

Способы задания функции:

1. Табличный

2. Графический

3. Аналитический: ;

Опр.2. Основными элементарными ф-ми наз-ся следующие ф-ии: степенная, показательная, логарифмическая, тригоном-кие, обратные тригоном-кие.

Опр-я, св-ва и графики основных элем. ф-й – выучить !!!

Опр.3. Пусть , .

Тогда ф-ия наз-ся сложной
ф-ей или суперпозицией ф-ций .

ПР. .

ПР. . , .

Опр.4. Элементарными ф-ми наз-ся ф-ции, которые получаются из основных элем-х ф-й с помощью четырех. ариф-х действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и суперпозиций, применяемых конечное число раз.

Опр.5. Пусть имеется ф-я или f: . Обратной по отношению к f наз. такая ф-я , что .Обоз.: – обратная для .

__________________________________________________

Т.о. для того, чтобы сущ-ла обратная ф-я, отображение д.б. взаимно однозначным. Графики взаимно обратных
ф-й симметричны от-но прямой y=x.

ПР. ; .

Опр.6. Задание функции в виде называется явным, а в виде – неявным.

ПР. , y не выр-ся явно.

§ 2. Предел функции.

Опр.1. -окрестностью т. наз. интервал .

Опр.2. Последовательностью наз. ф-я, определенная на мн-ве N, т.е. посл-ть – ф-я натур. аргумента: . Обозн.: . Пр.

Опр.3. Число a наз. пределом послед. : .

Геом. смысл предела послед.: , т.е. вне -окре-ти т. a окажется конечное число членов послед.

ПР. Док-ть, что ; ; .

Опр.4. Послед., имеющая конечный предел, наз. сходящейся.

Пусть дана ф-ция , вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. .

Опр. 5. Число наз-ся пределом при , , если .

Пр. Д-ть, что .

Д-во: нужно д-ть, что . Пусть фиксировано. Тогда: .

Зам. В опр. предела не требуется чтобы ф. была опр-на в т. , достаточно, чтобы ф. была определена в окрест этой точки, т.е. ф. в точке не определена, а предел в этой т. может сущ-ть.

Опр. 6. Если ф-ция имеет пределом число () при доп. условии, что , оставаясь < (>) , то называется левым пределом ( называется правым пределом). Правый и левый пределы наз-ся односторонними.

Пр. .

Т.1. (необх. и дост. условие сущ. предела ). Ф-я имеет предел при тогда и только тогда, когда сущ. лев. и пр. пределы при и они равны:

Д-во: – очевидно

__________________________________________________

;

Возьмем . Т.к. , то получим следующее: .

ПР.

не сущ.

Опр.7. Если принимает любые значения, большие любого наперед заданного положительного числа, то говорят, что . Если принимает любые значения, меньшие любого наперед заданного отрицательного числа, то говорят, что .