Гиперболические функции

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус.

– гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^-x

Проведем исследования функции y = th x.

1.

a. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.

b. Точка пересечения с осями координат .

2.

, функция возрастает на (–∞; +∞).

3.

4.

a. Вертикальной асимптоты нет.

b.
.

y = cth x

1. D . Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет

2.

убывает на .

3.

4.

a.

b. При x → +∞