Построение её графика

С целью изучения процесса, описываемого заданной функцией, проводится её исследование по следующей схеме.

1. Находится область определения функции, точки пересечения с осями координат, точки разрыва функции.

2. Устанавливается чётность или нечётность функции, её периодичность.

3. Находятся точки экстремума функции, вычисляются её экстремальные значения, находятся интервалы монотонности функции.

4. Находятся точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

5. Находятся асимптоты функций.

6. На координатную плоскость наносятся все найденные характерные точки, и по результатам исследования строится график функции.

Пример 7.17. Исследуйте функцию и постройте её график.

1. Функция определена для всех , т.е. область определения .

В точке функция терпит разрыв второго рода, т.к.

, .

Если , то , значит, кривая проходит через начало координат.

2. , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Очевидно, что данная функция и непериодическая.

3. .

при и .

	+			+		+

Поэтому функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале . Точка является точкой максимума и .

4.

.

при .

				+

Точка является точкой перегиба.

5. — вертикальная асимптота. Наклонные асимптоты ищем в виде .

.

.

Следовательно, прямая является асимптотой графика функции.

6. По результатам исследования строим график функции.

Пример 7.18. Открытый чан имеет форму цилиндра. Объём чана равен . Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы его поверхность была наименьшей?

Площадь поверхности открытого цилиндрического чана , где — радиус основания, — высота цилиндра. Объём цилиндра , откуда . Это значит, что .

Найдем значение радиуса , при котором функция достигает минимума:

, ,

,

,

,

Так как при , то функция достигает при минимума. .