В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время Dt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1 = v + Dv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Dv (рис. 4).
Рис. 4
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+ Dr называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Ду к интервалу времени Dг:
Мгиовеивым ускорением а (ускорением) материальной точки в момент време ни t будет предел среднего ускорения:
Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.
Разложим вектор Dv на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор , по модулю равный v1. Очевидно, что вектор , равный Dvt, определяет изменение скорости за время Dt по модулю: Dvt = v1 - v. Вторая же составляющая Dvn вектора Dv характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.
|
|
Тангенциальная составляющая ускорения
т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.
Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому Ds можно считать дугой окружности некоторого радиуса г, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует ,но так как AB= vDt, то
В пределе при Dt ® 0 получим v1 ® v.
Поскольку v1 = v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и Dvn стремится к прямому. Следовательно, при Dt ® 0 векторы Dvn и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Dvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная
называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):
Рис. 5
Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).
|
|
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:
1) аt = 0, an = 0 — прямолинейное равномерное движение;
2) at = a = const, an = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения
Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость v1= v0, то, обозначив t2 = tи v2 = v, получим a=(v—v0)/t, откуда
Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения
;
3) at = f(t), an = 0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;
4) at = 0, an = const. При at = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы an =v2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;
5) at = 0, an ¹ 0 — равномерное криволинейное движение;
6) at = const, an ¹ 0 — криволинейное равнопеременное движение;
7) at = f(t), an ¹ 0— криволинейное движение с переменным ускорением.