Примеры решения задач. Пример 38.От двух когерентных источников S1 и S2 (λ=0,8 мкм) лучи попадают на экран

Пример 38. От двух когерентных источников S₁ и S₂ (λ=0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n=l,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине d_min пленки это возможно?

Решение. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн, т. е.

, (1)

где Δ₁ — оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; Δ₂ — оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k = 0, ±1, ±2,…

Наименьшей толщине d_min пленки соответствует k=0. При этом формула (1) примет вид

. (2)

Выразим оптические разности хода Δ ₁ и Δ ₂. Из рис. 24 следует:

Рис.24

Подставим выражения Δ₁ и Δ ₂ в формулу (2):

или

Отсюда

Произведем вычисления::

Пример 39. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d=2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного (λ₁ = 0,7мкм) и в случае фиолетового (λ₂= 0,41 мкм) света.

Решение. Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок m дифракционного максимума:

(1)

где d — период решетки; φ — угол дифракции; λ — длина волны монохроматического света. Так как sin φ не может быть больше 1, то число т не может быть больше , т.е.

. (2)
Подставив в формулу (2) значения величин, получим:
(для красных лучей);

(для фиолетовых лучей).

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света m_min=2 и для фиолетового m_min=4.

Рис. 25

Пример 40. Пучок естественного света падает на поляризованную поверхность стеклянной пластины погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол φ=97⁰ с падающем пучком (рис. 25) Определить показатель преломления n₁ жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Решение: Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления tgε =n₂₁, где n₂₁ — показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости). Относительный

показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, .

Так как угол падения равен углу отражения, то ε=φ/2 и, следовательно, , откуда

Произведем вычисления:

Пример 41. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью им гаситься. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластинку, интенсивность света Ι после поляроида стала равна половине интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения α кварца принять равной 48,9 грам./мм.

Решение. Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида(штриховая линия на рис. 26)перпендикулярна плоскости колебаний(I-I) плоско поляризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол

, (1)

где l- толщины пластины.

Рис. 26

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол β, который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (ΙΙ-ΙΙ) плоскости колебаний падающего на поляроид плоско поляризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса

Заметив, что , можно написать

, или (2)

Из равенства (2) с учетом (1) получим , откуда искомая толщина пластины

Произведем вычисления во внесистемных единицах:

Пример 42. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, λ₀=0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) R_еповерхности тела.

Решение. Энергетическая светимость R_еабсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана – Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической темп6ературы и выражается формулой

, (1)

где σ-постоянная Стефана- Больцмана, Т- термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

, (2)

где b- постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (1) и (2), получаем

Произведем вычисления:

Пример 43. Определить максимальную скорость υ_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁=0,155 мкм; 2) γ- излучением с длиной волны λ₂=1 пм.

Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

, (1)

где ε- энергия фотона, падающих на поверхность металла; А- работа выхода;

Т_max – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

, (2)

где h –постоянная Планка; с- скорость света в вакууме; λ- длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле

или по релятивистской формуле

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона, вызывающая фотоэффект: если энергия ε фотона на много меньше энергии покоя Е₀ электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине с Е₀, то вычисления по формуле (3) приводят к ошибке, поэтому нужно воспользоваться формулой (4).

Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

или

Полученная энергия фотона (8эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

откуда

Подставив значения величин в формулу (5), найдем

Вычислим энергию фотона γ – излучения:

Работа выхода электрона (А=4,7эВ) пренебрежительно мала по сравнению с энергией фотона (ε₂=1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Т= ε₂=1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем

Заметив, что и , получим

Произведем вычисления:

Пример 44. Пучок монохроматического света с длиной волны λ=663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_е=0,6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Решение. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:

, (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

, (2)

где Е_е – энергетическая освещенность; с – скорость света в вакууме; ρ – коэффициент отражения.

Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем

. (3)

Так как Е_еS представляют собой поток излучения Ф_е то

. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности ρ=1:

Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов n₁, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т. е. потоку излучения: Ф_е=εn₁, а так как энергия фотона , то