Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердого тела

Постановка задачи. Рассмотрим изотропное неравномерно нагретое тело, объем которого , а поверхность Выделим в этом теле элементарный объем d, ограниченный поверхностью d. Выделенный элементарный объем dнастолько мал, что изменением температуры внутри его по координатам можно пренебречь, учитывая лишь изменение температуры во времени. Требуется найти закономерность измерения температуры в твердом теле t = f (x, y, z, t).

Выделенный объем dбудем рассматривать в качестве термодинамической системы. Запишем для нее первый закон термодинамики. d= d+ d, где d= - d– работа сил упругих деформаций в твердом теле при постоянном давлении равна нулю. Теплота dпредставляет собой сумму теплоты, выделяемой внутри объема тела (), и теплоты, поступающей через поверхность извне (), т.е. . Тогда

Количество теплоты, проходящей через поверхность тела за время dt:

Знак минус появился потому, что теплота теряется объемом, т.е. с точки зрения термодинамики теплота отрицательная. Теплота, выделяемая внутри объема тела за время dt, определяется по формуле

Изменение энтальпии за время dt:

сокращая на dt, имеем

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, согласно которой интеграл потока вектора поля через замкнутую поверхность F равен

интегралу от дивиргенции этого потока вектора поля по объему V, ограниченному поверхностью F, т.е.

Тогда уравнение запишется в виде

или .

Учитывая, что интеграл равен нулю, когда его подынтегральное выражение равно нулю, имеем

Подставляя значения q, получим

Учитывая, что , запишем

откуда

Величина , м²/с, называется коэффициентом температуропроводности, является физическим параметром и характеризует теплоинерционные свойства тела. Уравнение