Применение производной к исследованию функций

1. Возрастание, убывание функции

Теорема (необходимые условия возрастания (убывания) функции): если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для любого .

2 Экстремумы функции

Точка называется точкой максимума (минимума ) функции , если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство ().

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Точка, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки и при переходе через нее производная меняет знак, то точка является точкой экстремума: точкой максимума, если производная меняет знак (слева направо) с плюса на минус, точкой минимума – если с минуса на плюс.

Теорема Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .