Определение первообразной функции

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее
геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например,
задача об определении закона прямолинейного движения материальной точки по заданной ее скорости .

Решение сформулированной задачи основано на понятии
первообразной функции.

Определение. Функция , определенная на промежутке ,
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции на , если в любой точке этого промежутка функция дифференцируема и имеет производную , равную : .

Пример. Функция является первообразной для на , так как для любого имеем .

Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для первообразными на являются также функции , и вообще , где – произвольное число, поскольку для любого .

Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции .

Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.

Теорема 1. Если – первообразная для функции на , то функция , где – произвольное число, также является первообразной для на .

Теорема 2. Если и – произвольные первообразные для на , то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е. на , где – некоторое число.

Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную , то множество функций , где и , образует множество всех первообразных для функции на .

Для множество всех первообразных есть множество функций , , .

Определение. Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом
функции на и обозначается символом .

Выражение называется подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования, – произвольной постоянной. Процедуру отыскания
неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что «интеграл вычисляется»).